• Предположим, что базовая сторона является определяемым расстоянием до далекого объекта. Отметим, что объект может быть очень далеким, если он велик, но если он близок, то может быть и мал (когда вы смотрите на палец своей вытянутой руки, его угловая толщина равна угловому размеру Луны, но Луна гораздо больше и дальше вашего пальца!). Ясно, что для вычисления расстояния R по измеренному угловому размеру объекта на небе (угол α в вершине треугольника) нам нужно знать размер этого объекта (S) в километрах. Но как вычислить его истинный размер, не зная расстояния до него? Это одна из самых трудных задач астрономии — найти «стандартный отрезок» для измерения больших расстояний за пределами нашей Галактики.

• Было бы легче, если бы базовая сторона была бы «здесь», у наблюдателя, а далекий объект находился бы в вершине треугольника. Подобно Эратосфену, мы бы измерили S и угол α (каким-то иным методом), а затем вычислили бы расстояние R до объекта. В сущности, используя этот метод, Эратосфен вычислил расстояние до недостижимого центра Земли.

Аристарх Самосский — Коперник Античности, расширивший Вселенную.

Наряду с моделями мира, в центре которого расположена Земля, в древности были и «диссидентские» взгляды, выражавшие сомнения в некоторых базовых установках господствовавшей космологии. Гераклид Понтийский (388–315 до н. э.), ученик Платона, считал, что Земля вращается вокруг собственной оси, а суточное вращение неба — это всего лишь кажущееся явление для наблюдателя на вращающейся Земле. Гераклида чуть было не выбрали главой Академии после смерти Спевсиппа, преемника Платона, но выиграл Ксенократ с перевесом в несколько голосов. Можно предположить, что к вопросу о движении Земли отношение в Академии стало бы более внимательным, если бы выбрали Гераклида.

Аристарх Самосский (310–230 до н. э.) придумал способ определения размеров и расстояний Луны и Солнца. Он использовал Луну как промежуточный шаг к более далекому Солнцу. Сохранилась только одна его работа О размерах и расстояниях Солнца и Луны. В этой книге Аристарх объясняет, как можно измерить (а) отношение расстояний Солнца и Луны и (б) размеры Солнца и Луны, принимая радиус Земли как единицу длины. В основе метода (б) лежит затмение Луны (используется тень, отбрасываемая Землей). Требуется также знать отношение расстояний, которое определяется способом (а), по наблюдениям Луны в одной из четвертей.

В чем причина лунных фаз и лунных затмений, понял еще Анаксагор за два столетия до этого (и подробно объяснил Аристотель). Аристарх считал, что Луна — это сфера, светящаяся лишь отраженным солнечным светом. Поэтому в фазе первой или последней четверти, когда освещена половина лунного диска, Земля, Луна и Солнце составляют прямоугольный треугольник с Луной при прямом угле (рис. 3.5). Если в этот момент измерить угол между Луной и Солнцем, то можно узнать и величину оставшегося угла треугольника. После этого легко вычислить расстояние Земля-Солнце в единицах расстояния Луны от Земли. При наличии простейшего современного калькулятора вычисления не представляют никакой трудности, но для Аристарха они были трудны из-за скучных геометрических построений. Угол между Луной и Солнцем в его вычислениях был принят 87°, и он показал, что отношение расстояний до Солнца и до Луны больше чем 18:1, но меньше чем 20:1. Вычисления с помощью калькулятора дают около 19:1.

Аристарх оценил размер Луны в сравнении с Землей весьма изощренным методом, используя затмения Луны. Мы опишем его в упрощенном виде. Представим, что Солнце очень далеко; тогда за Землей образуется цилиндрическая тень, диаметр которой равен диаметру Земли. Во время затмения легко увидеть, что земная тень больше Луны, а по продолжительности затмения нетрудно вычислить относительный размер Луны и Земли. Аристарх определил, что размер Луны составлял 1/3 размера Земли. Современное значение ближе к 1/4. Солнце и Луна имеют примерно одинаковый угловой размер, равный 1/2°. Если Солнце в 19 раз дальше Луны, которая в три раза меньше Земли, то получается, что Солнце в 19/З ≈ 6 раз больше Земли. Современные данные дают другие значения: в 400 раз дальше и в 400/4 = 100 раз больше Земли.

Немного странно, что Аристарх не определил расстояние до Луны и Солнца, ведь их было бы легко вычислить в единицах радиуса Земли. Может быть, он это сделал в работе, которая не сохранилась. В таком случае, с теми данными, которые у него были, он должен был получить: (1) расстояние до Солнца равное 1500 радиусам Земли, (2) расстояние до Луны равное 80 земным радиусам. Правильные данные таковы: 23 500 и 60 земных радиусов соответственно. Математические расчеты Аристарха были верны, откуда же такое отличие? Угол Солнце-Луна во время четвертей Луны близок к 90° (89,85°), поэтому даже крошечная ошибка в измерениях дает большую погрешность в определении отношения расстояний.

Позже Гиппарх и Птолемей определили методом триангуляции расстояние до Луны в 60 земных радиусов. Таким образом, древние астрономы хорошо знали и размер спутника, и расстояние до Луны. Но расстояние до Солнца так и оставалось недооцененным до нынешней эпохи. Даже Коперник придерживался мнения, что расстояние до Солнца равно 1142 земным радиусам, ошибаясь при этом в 20 раз.

Рис. 3.5. Земля, Луна и Солнце образуют прямоугольный треугольник, когда Луна видна в фазе одной из четвертей.

Аристарх определил, что Солнце во много раз больше Земли. Вероятно, это привело его к предположению, что маленькая Земля обращается вокруг Солнца. Его собственный труд по этому вопросу потерян, но у нас есть надежный источник — его современник Архимед (287–212 до н. э.). После обучения в Александрии этот великий математик вернулся на свою родную Сицилию, где служил советником царя Гиеро II. Он понял, что если тяжелое тело помещено в сосуд, полный воды, то количество перелившейся через край воды равно объему тела. Поэтому вес тела, деленный на вес вылившейся воды, равен плотности вещества, из которого состоит тело. Не повредив изящную корону, он смог обнаружить мошенничество ювелира, использовавшего при ее изготовлении золото низкой пробы.

В книге Архимеда «Исчисление песчинок» упоминается о потерянной работе Аристарха, посвященной размеру Вселенной. Здесь Архимед представляет новую систему счисления, предназначенную для операций с большими числами[2]. В этой связи он предполагает, что диаметр Вселенной меньше чем 10 млрд стадий (что лишь немногим больше орбиты Юпитера). Архимед вычислил самое большое из возможных чисел — количество песчинок, которыми можно было бы заполнить всю Вселенную. В результате у него получилось 1063, то есть единица с 63 нулями.