Теорема (закон Гаусса)

Gauss's law

На самом деле существует две[115] теоремы Гаусса с очень похожими формулировками.

Согласно теореме Гаусса для электрического поля, поток электрического поля через любую замкнутую поверхность равен количеству электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности.

Согласно теореме Гаусса для магнитного поля, поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Иначе говоря, этот поток равен количеству магнитного заряда, заключенного внутри этой поверхности, а такого заряда в Природе не обнаруживается.

Эти теоремы Гаусса увековечены в двух уравнениях Максвелла.

Теорема Пифагора

Pythagorean theorem

Теорема Пифагора была опережающим свое время поразительным открытием в геометрии. Теорема Пифагора гласит, что квадраты длин двух более коротких сторон прямоугольного треугольника составляют квадрат длины самой длинной стороны (гипотенузы). Она обсуждается подробно, с чертежами, в основном тексте.

Теория Янга – Миллса

Yang-Mills theory

В 1954 г. Чжэньнин Янг и Роберт Миллс открыли, как создать новый большой класс теорий, в которых глобальная симметрия пространства свойств обобщена до локальной симметрии. В их честь теории такого вида часто называют теориями Янга – Миллса. Наши Главные теории сильных и слабых взаимодействий включают в себя подобную конструкцию.

Переходя от специальной теории относительности к общей теории относительности в 1915 г., Эйнштейн обобщил галилееву симметрию от глобальной до локальной. Грубо говоря, Янг и Миллс научили нас, как сделать этот вид обобщения, от глобальной симметрии до локальной, для широкого класса возможных групп симметрии, применимых для частиц.

В основном тексте мы сравниваем переход от глобальной симметрии к локальной с переходом от обычной геометрической перспективы, которой занимается проективная геометрия, к более гибким возможностям анаморфного изображения.

Ток

Current

Электрический ток – мера движения электрического заряда из одного места в другое[116]. Самый простой, идеализированный случай электрического тока связан с движением одного электрона. В этом случае электрический ток равен электрическому заряду электрона, умноженному на его скорость, в мгновенном положении электрона и нулю в остальных точках пространства. Если скорость электрона остается постоянной, ток постоянен по величине, но его местоположение движется вместе с электроном.

В ситуации, когда у нас есть много электронов вместе с другими электрически заряженными частицами, полный электрический ток равен сумме всех электрических токов, вызванных каждой из этих частиц по отдельности (и во всех случаях это заряд, умноженный на скорость). Величина этого фундаментального «микроскопического» тока[117] определена в каждой точке пространства и в любой момент времени. Другими словами, электрический ток – это векторное поле.

Величина микроскопического электрического тока, определенная таким образом, строго равна нулю, если движущихся электрически заряженных частиц нет, и беспорядочно меняется в пространстве и времени. Обычно бывает удобно для практического применения усреднять величины по областям пространства, которые содержат множество электронов. Таким способом мы определяем усредненный электрический ток, который гладко меняется в пространстве и времени. Обычно при обсуждении электрических токов в электрических цепях или в электроприборах такое усреднение считается само собой разумеющимся.

Сходным образом мы можем говорить о токах, связанных с перемещением других видов зарядов, таких как два вида слабых цветовых зарядов слабого взаимодействия или трех сильных цветовых зарядов сильного взаимодействия. Также имеются (если заменить в определении «заряд» на «массу») массовые токи, связанные с перемещением массы, потоки энергии, связанные с перемещением энергии, и т. д. В общеупотребительном языке мы можем использовать слово «ток»[118] для описания потоков воды и при этом имеем в виду массовый ток.

Тон, чистый тон

Tone/pure tone

Выражение «чистый тон» в этой книге означает простое волновое возмущение, которое является периодическим как в пространстве, так и во времени. (Здесь слово «простое» имеет определенное техническое значение: форма волны является синусоидальной, но здесь я не буду останавливаться на этом подробно. В примечаниях в конце книги имеются две легкодоступные ссылки.)

Самые важные примеры чистых тонов для нас касаются звуковых волн и электромагнитных волн (включая главным образом свет). В звуковых волнах изменению подвергаются давление и плотность воздуха; в электромагнитных волнах – электрические и магнитные поля.

Глубокое и приятное озарение, которое приходит в результате научного исследования Природы, состоит в том, что чистые тона, определенные вышеприведенным математическим/физическим способом, соответствуют простым чувственным восприятиям. Чистые звуковые тона легко создать с помощью электроники, и они могут быть знакомы вам по проверкам слуха или благодаря примитивным устройствам электронной музыки (какие, например, иногда встраивают в поздравительные открытки) или по камертонам. Чистые визуальные тона – это спектрально чистые цвета, которые появляются в радуге или в солнечном свете, преломленном призмой, как в экспериментах Ньютона. Эти два взаимодополняющих взгляда на чистые тона – с точки зрения восприятия и с точки зрения научных концепций – красиво иллюстрируют столь желаемое нами соответствие

Тона, которые издают более традиционные музыкальные инструменты, когда вы извлекаете единственную «ноту», далеки от чистых. Подробное описание изменяется от инструмента к инструменту, но во всех случаях нота содержит много чистых тонов, звучащих одновременно с различной силой. Самым мощным из них является чистый тон, который дает имя этой ноте, но качество музыкального звука, тембр, который отличает различные инструменты друг от друга, в значительной степени определяется дополнительными тонами, так называемыми обертонами.