Попробовать решить уравнение Шрёдингера в самом общем виде — довольно трудная задача для современных теоретиков, оснащенных мощными вычислительными комплексами. Разумеется, физиков-экспериментаторов интересуют совсем иные решения, которые они и получают в рамках особых стационарных задач. В этих задачах принимается, что значения искомой ncu-функции располагаются вблизи некоторой области «средних значений», которая, в свою очередь, не зависит от времени. Конечно же, решения, полученные в стационарных задачах, трудно соотнести с периодическими колебательными процессами, меняющими все свои параметры с течением времени. Решения стационарных задач как бы составляют неизменный каркас квантовой системы, участвующей в тех или иных процессах, причем знание такой «математической архитектуры» реальных явлений микромира оказывается очень полезным, ведь трудно обрисовать течение процесса без учета конкретных условий его протекания.

Стационарные решения волнового уравнения приводят к целому ряду важных выводов. Например, один из вариантов соотношения неопределенности, выведенного выдающимся физиком-теоретиком В. Гейзенбергом, гласит: если квантовая система изменяет свою энергию за некоторый промежуток времени, то точность измерения энергии тем выше, чем больший мы берем отрезок времени.

В математической форме это представляет очень простое неравенство: произведение неопределенности энергии и неопределенности времени больше или равно постоянной Планка.

В стационарных задачах время как бы останавливается, так что энергия микрочастиц остается постоянной неопределенно долго, а это означает, что неопределенность времени стремится к бесконечности, что тут же вызывает, согласно соотношению Гейзенберга, стремление неопределенности энергии к нулю. Все это непреложно означает, что энергетические параметры микрочастиц в стационарных состояниях определяются точно так же, как и для объектов макромира — небесных тел или бильярдных шаров.

Уравнение Шрёдингера, как и всякий фундаментальный закон природы, нельзя вывести из других, более простых законов. Его можно только угадать, а затем научиться им пользоваться. Ну а для этого, естественно, надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают. Все последующие поколения физиков занимались этим и занимаются до настоящего времени…

В случае свободного движения частиц уравнение Шрёдингера дает нам ненулевые решения при любых значениях энергии, следовательно, в этом случае свободная частица может обладать любой скоростью движения и соответствующей энергией. А вот если предположить, что микрообъект находится в связанном состоянии, подобно шарику на пружине, то вид решений уравнения Шрёдингера меняется принципиальным образом и ненулевые значения получаются только для определенных значений энергии. Эти энергетические уровни микрочастицы носят название разрешенных дискретных энергий, а вероятность пребывания на них является существенно не нулевой.

Все это сразу же напоминает картину разрешенных уровней энергии для орбитальных электронов в модели атома Бора. Действительно, боровские электронные орбиты и являются теми разрешенными энергетическими состояниями, в которых вероятность пребывания электрона отлична от нуля. Правда, Бор просто постулировал наличие дискретных орбит для планет-электронов в своей атомной Солнечной системе, подобно тому как Планк в свое время угадал дискретную закономерность излучения энергии абсолютно черным телом. Исчерпывающее объяснение принципов построения атома Резерфорда — Бора дает именно квантовая механика, которая также объясняет квантовый характер прыжков электронов с одной на другую атомную орбиту. Для данных электронов уравнения Шрёдингера отводят определенный набор разрешенных энергетических состояний. Соответственно при квантовых переходах энергия электрона должна меняться не непрерывно, а ступенчато, причем на строго определенную величину. Эта величина и составляет разность энергий между конечной и начальной орбитой перехода, кроме того, данная энергия и есть тот самый квант действия Планка, с которого началась эра новой физики.

Получается, что в квантовой физике, усилиями многих замечательных ученых были объединены две парадоксальнейшие гипотезы начала прошлого века — Планка о квантах энергии и де Бройля о волнах материи!

Американский физик и популяризатор науки Эдвард Кондон так описывал появление новых математических образов (матриц) в аппарате квантовой механики: «Летом 25-го года, когда волновой механики еще не существовало, а матричная только-только появилась на свет, два геттингенских теоретика пошли на поклон к знаменитому Давиду Гильберту — признанному главе тамошних математиков. Бедствуя с матрицами, они захотели попросить помощи у мирового авторитета. Гильберт выслушал их и сказал в ответ нечто в высшей степени знаменательное: всякий раз, когда ему доводилось иметь дело с этими квадратными таблицами, они появлялись в расчетах „как своего рода побочный продукт“ при решении волновых уравнений.

— Так что, если вы поищете волновое уравнение, которое приводит к таким матрицам, вам, вероятно, удастся легче справляться с ними, — закончил он.

Оба теоретика решили, что услышали глупейший совет, ибо Гильберт просто не понял, о чем шла речь. Зато сам Гильберт потом с наслаждением смеялся, показывая им, что они могли бы открыть шрёдингеровскую волновую механику на шесть месяцев раньше ее автора, если бы повнимательней отнеслись к его, Гильбертовым, словам».

Так сложилась довольно любопытная ситуация, когда к окончанию первой четверти двадцатого века на физической арене начали борьбу за приоритет описания микромира сразу две квантовые теории с различными исходными концепциями. В матричной механике Гейзенберг при поддержке Бора доказывал корпускулярную природу электронов, отражая это в своих системах матриц. Совершенно иной, на первый взгляд, подход предлагал Шрёдингер при поддержке де Бройля, отражая волновую природу электрона в своем уравнении.

Подход Гейзенберга основывался на оперировании только наблюдаемыми величинами, и он в принципе не рассматривал понятие атомных траекторий. Со своей стороны, Шрёдингер тоже избегал «планетарного» смысла орбит электронов вокруг «солнечного» ядра и ограничивался абстрактным содержанием таинственной пси-функции в своем уравнении. Великий судья всех физических споров — опыт также оказался бессилен, ведь часть экспериментов обнаруживала у электрона корпускулярные, а часть — волновые свойства!

Это был период бурных дебатов, разделивших тогда еще совсем немногочисленных физиков на два непримиримых лагеря: приверженцев пионерской матричной механики и сторонников математически прозрачной волновой квантовой физики. В этой непростой ситуации главным арбитром выступил Шрёдингер, убедительно продемонстрировав в 1927 году скептикам и своим сторонникам, что обе квантовые теории в их математической сущности едины. Отсюда сразу же следовал и основной вывод о физической эквивалентности двух механик в описании боровского атома. Иначе говоря, представления матричной теории о корпускулярном образе электрона так же достоверны, как и представления волновой квантовой механики о волнах электронов.