Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.

Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.

Впоследствии Ньютон в своем математическом анализе будет активно использовать бесконечные ряды. Особенно полезным достижением индийской математики была аппроксимация синусов и косинусов полиномами с бесконечным числом членов — работы именно в этом направлении мы можем увидеть у математиков Кералы. После Бхаскары успехи индийской математики были невелики — страну охватил политический хаос. Но юго-западная Индия оставалась в значительной степени защищенной от этих потрясений, так что там математика могла развиваться вплоть до четырнадцатого — семнадцатого веков. Керала была центром морской торговли, туда стекались люди из самых разных стран. Конечно, необходимо более точно изучить историческую роль Кералы в продвижении математических идей, но некоторые результаты указывают на то, что математика там процветала.

Мадхава из Сангамаграма (ок. 1340–1425), известный более поздним астрономам как Голавид, или «Повелитель сфер», был одним из величайших средневековых математиков. Его работы по исследованию бесконечных рядов были утеряны, но постоянно цитировались более поздними авторами вплоть до шестнадцатого века. Многие результаты, которые были названы в честь европейских математиков, возможно, должны были носить имя Мадхавы. Сюда входят разложение синусов и косинусов в бесконечный многочлен, считающееся заслугой Ньютона, а также формулы малоуглового приближения, представляющие собой часть рядов Тейлора. Эти формулы позволяли составлять тригонометрические таблицы с любой желательной точностью; таблицы Мадхавы были составлены с точностью до восьми десятичных знаков. Мы также находим у него бесконечный ряд, выражающий значение числа π. Один пример, приведенный в стихотворной форме, иллюстрирует, как определенные объекты традиционно использовались для того, чтобы обозначить числа и способствовать их последующему вспоминанию:

Боги [33], глаза [2], слоны [8], змеи [8], огни [3], тройка [3], качества [3], веды [4], наксатры [27], слоны [8] и руки [2] — мудрые говорят, что это длина окружности, когда диаметр круга — 900 000 000 000.

Прочтение чисел справа налево и деление получившегося числа на указанный диаметр приводят к значению π с точностью до одиннадцати десятичных знаков. Такое вычисление с использованием бесконечного ряда сразу напоминает о гениальном индийском математике-самоучке из Кералы — Сринивазе Рамануджане (1887–1920), невероятные способности которого позволили ему поступить в Кембриджский университет.

В седьмом веке нашей эры на Аравийском полуострове возникла новая монотеистическая религия, которая должна была втиснуться между христианским и персидским мирами. В 622 году пророк Мухаммад бежал из Мекки и нашел прибежище в Медине. Восемь лет спустя он возвратился во главе армии и триумфально вошел в Мекку. Вдохновленные прозрениями Мухаммада, его последователи распространили слово Корана и создали Арабский халифат, который в пору своего расцвета раскинулся от Кордовы до Самарканда. С 661 года империей, со столицей в Дамаске, правила династия Омейядов, но в 750 году они были свергнуты Аббасидами, которые перенесли столицу в Багдад (с 762 года). Омейяды бежали в испанские земли, где создали Кордовский халифат.

Халифы династии Аббасидов стремились построить в Багдаде новую Александрию и основали там астрономическую обсерваторию, библиотеку и исследовательский центр под названием «Байт аль-Хикма» («Дом Мудрости»). Был задуман и осуществлен гигантский проект, согласно которому на арабский язык были переведены все лучшие научные труды того времени, какие только можно было найти. В арабской математике мы можем увидеть влияние вавилонских, индийских и греческих идей. Их синтез и развитие привели к созданию фундаментальных трудов, особенно по алгебре и тригонометрии. Хотя алгебраическая символика, какой мы ее знаем сегодня, — это намного более поздняя европейская разработка, создание алгебраических рассуждений с большой долей вероятности можно приписать арабским математикам. Более ранняя математика нередко могла алгебраически интерпретироваться, но явное признание того факта, что геометрические проблемы могут быть выражены алгебраически, что геометрические процедуры могут быть преобразованы в алгебраические алгоритмы и что алгебраические процедуры могут выйти за рамки своих геометрических корней, — это вклад арабов в математику.

Очень важной работой в истории алгебры был труд Диофанта Александрийского (ок. 200 — ок. 284) «Арифметика». При том, что даты жизни Диофанта, казалось бы, известны, тем не менее до сих пор нет окончательной ясности, к какому столетию следует его отнести, хотя решение математической загадки, которая, по слухам, была начертана на его могиле, указывает на его возраст в момент смерти. «Арифметика» считается новой ветвью греческой математики, она посвящена решению определенных и неопределенных уравнений в числовой форме, независимо от геометрических обоснований. Ограничение на целочисленные решения ныне сформировалось в отдельную ветвь математики, известную как диофантовы уравнения. Примером таких уравнений может служить поиск пифагоровых троек. Диофант также использовал то, что называют синкопированной алгебраической записью, то есть промежуточной стадией между риторической и полностью символической алгеброй. Эта работа была переведена на арабский язык и тщательно изучалась арабскими математиками.

Одним из наиболее значительных арабских математиков был Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (ок. 783 — ок. 850). По его имени можно понять, что он приехал из Хорезма — города в Средней Азии. Похоже, что большую часть своей жизни ал-Хорезми провел в Багдаде, где занимал должность директора библиотеки недавно основанного там Дома Мудрости. Его трактат по алгебре «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») позднее оказал огромное влияние на развитие математики в Европе. Наше слово «алгебра» возникло от латинской транслитерации слова «ал-джабр». Ал-Хорезми стремился решить практические задачи, возникающие в торговле, при наследовании и в использовании земли. В алгебраических разделах рассматриваются линейные и квадратные уравнения — термины «восполнение» и «противопоставление» относятся к алгебраическим преобразованиям. Ал-Хорезми разделяет квадратные уравнения на шесть различных групп. В арабской математике требовалось, чтобы все коэффициенты и все ответы были положительными, поэтому вместо того, чтобы писать общий вид уравнения ах2 + bx + с = 0, где х — неизвестная величина, и а, b,с — коэффициенты, что было бы бессмысленным, поскольку сумма положительных элементов никогда не могла быть равна нолю, ал-Хорезми рассматривал уравнения ax2 + bx = с и ax2 + с = bx как два различных типа уравнений. Алгебраические решения для каждого типа уравнения приводятся отдельно, они сопровождаются геометрической иллюстрацией, возможно используя работы Евклида, но он также применяет методы, похожие на вавилонские и индийские. Геометрические иллюстрации алгебраических методов пока еще риторические: ал-Хорезми не развил символический язык, но непринужденность, с которой он перемещается между царствами алгебры и геометрии, значительно отличается от греческого стиля математики.