Нам станет легче осознать, какой огромный интеллектуальный скачок был проделан, чтобы открыть иррациональные числа, если мы поймем, каким судьбоносным открытием (или изобретением) для человечества стали даже дроби – рациональные числа вроде 1/2, 3/5 или 11/13. Живший в XIX веке математик Леопольд Кронекер (1823–1891) выразил свое мнение по этому вопросу следующим образом: «Господь сотворил натуральные числа, а все остальное – измышления человека».

О том, насколько древние египтяне были знакомы с дробями, мы знаем в основном по папирусу Ринда (Ахмеса). Это огромный папирус (18 футов длиной и 12 дюймов шириной), скопированный около 1650 года до н. э. писцом по имени Ахмес с более ранних документов. Найден папирус в Фивах, в 1858 году его приобрел шотландский антиквар Генри Ринд, а сейчас папирус хранится в Британском музее (за исключением нескольких фрагментов, которые неожиданно оказались собранием медицинских документов и сейчас находятся в Бруклинском музее). Папирус Ринда, в сущности, представляет собой справочник счетовода, и простыми словами в нем называются лишь дроби с числителем 1–1/2, 1/3, 1/4 и т. д., – а также 2/3. В некоторых других папирусах есть еще особое название для 3/4. Все прочие дроби древние египтяне выражали в виде суммы дробей с числителем 1. Например, чтобы выразить 4/5, они писали 1/2 + 1/5 + 1/10, а 2/29 выражали как 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232. Чтобы выразить доли меры объема зерна под названием «гекат», древние египтяне применяли так называемые дроби «глаз Гора». Легенда гласит, что в битве между богом Гором, сыном Осириса и Изиды, и убийцей Осириса Сетом Гор потерял глаз, а Сет то ли раздавил его пальцем, то ли наступил на него. Затем бог письма и вычислений Тот нашел части глаза и хотел собрать его. Однако он обнаружил лишь части, которые соответствовали дробям 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Тот подсчитал сумму и выяснил, что собрал лишь 63/64 глаза, и тогда он наколдовал оставшуюся 1/64, что и позволило ему восстановить глаз.

Как ни странно, египетская система дробей с числителем 1 еще много столетий применялась и в Европе. В эпоху Возрождения составители учебников по математике приводили для тех, кому было трудно запомнить, как складывать и вычитать дроби, стихотворные правила. Забавный пример приводит Томас Хиллес в книге «Искусство популярной арифметики в целых числах и в дробях» (Thomas Hylles. The Art of Vulgar Arithmetic, both in Integers and Fractions), вышедшей в 1600 году.

Несмотря на завесу тайны, которая окутывала Пифагора и содружество пифагорейцев, а может быть (в некоторой степени), и благодаря ей, пифагорейцам стремились приписать некоторые значительные математические открытия, в число которых входят и золотое сечение, и несоизмеримость. Однако если учесть колоссальный авторитет и успехи математиков Древнего Египта и Вавилона, а также то обстоятельство, что и сам Пифагор, вероятно, учился математике в Египте и Вавилоне, можно задаться вопросом: быть может, эти (или еще какие-нибудь) цивилизации открыли золотое сечение еще до пифагорейцев? Особенно интересным этот вопрос покажется, когда мы обнаружим, как много книг и статей написано о том, что золотое сечение обнаруживается в параметрах Великой пирамиды Хеопса в Гизе. Чтобы найти ответ, нам придется предпринять исследовательскую экспедицию в область археологической математики.

Название этой главы позаимствовано из «Посвящения Шекспиру» великого английского поэта Джона Мильтона (1608–1674). Мильтон, которого считали вторым по гениальности поэтом после Шекспира, писал:

Как мы вскоре убедимся, пирамиды и в самом деле ориентировали по звездам. Однако многим писателям, похоже, оказалось мало того, что эти сооружения сами по себе столь грандиозны: они настаивают, что параметры великих пирамид основаны на золотом сечении. Для всех поклонников золотого сечения подобная связь лишь добавляет загадочности, которая в целом свойственна числу φ. Но правда ли это? Знали ли древние египтяне о числе φ – и если да, сознательно ли они обессмертили его, создав на его основе одно из Семи чудес света?

Если учесть, что первоначально интерес к золотому сечению вспыхнул, вероятно, из-за его связи с пентаграммой, нам сперва придется проследить историю пентаграммы с самого начала, поскольку это приведет нас к самым первым появлениям золотого сечения на исторической арене.

Попросите любого ребенка нарисовать звездочку – и он, скорее всего, нацарапает пентаграмму. На самом деле это следствие того, что звезды мы видим сквозь атмосферу Земли. Движение воздуха рассеивает звездный свет, и кажется, что звезды постоянно меняют очертания – вот почему они мерцают. Люди хотели передать лучики, которые видятся нам в результате мерцания, и нарисовали пентаграмму, у которой есть и еще одна привлекательная черта – ее можно начертить, не отрывая инструмента для письма от глины, папируса или бумаги.

Шли годы, и подобные «звезды» стали символом качества (вспомним пятизвездочные отели, кинофильмы и рецензии на книги), достижений (кино– и телезвезды), способностей («хватает с неба звезды») и авторитета (воинские знаки отличия). А если вспомнить, что эта символика сочетается с романтическим очарованием звездной ночи, неудивительно, что пятиконечные звезды украшают флаги более шестидесяти государств и что подобный рисунок встречается на бесчисленном множестве фирменных логотипов – от «Тексако» до «Крайслера».

Некоторые из первых дошедших до нас пентаграмм относятся к IV тысячелетию до нашей эры и найдены в Междуречье. Изображения пентаграмм были обнаружены при раскопках города Урук, где также были обнаружены и первые памятники письменности, и в Джемдет-Насре. Древний вавилонский город Урук – это, вероятно, библейский Эрех, упоминаемый в Книге Бытия (глава 10) как один из городов во владениях «сильного зверолова» Нимрода. Пентаграмма обнаружена на глиняной табличке, датируемой примерно 3200 г. до н. э. В Джемдет-Насре пентаграммы примерно того же периода были обнаружены на вазе и на пряслице. В шумерской культуре пентаграмма или ее клинописный вариант означали «все края Вселенной». Пентаграммы рисовали и в других частях древнего Ближнего Востока. В Тель-Эсдаре в израильской пустыне Негев нашли пентаграмму на кремневом скребке эпохи халколита («Медного века», 4500–3100 до н. э.). В Израиле пентаграммы обнаруживали и в других местах – при раскопках в Гезере и Тель-Захария, – однако они датируются существенно более поздним временем (V в. до н. э.). Несмотря на то что пятиконечные звезды довольно часто встречаются на древнеегипетских артефактах, геометрически правильные пентаграммы распространены не слишком сильно, хотя на кувшине в Накаде близ Фив обнаружена пентаграмма, относящаяся примерно к 3100 г. до н. э. В целом иероглифический символ звезды, вписанной в круг, означал «подземный мир» или мифическое место пребывания звезд в сумерки, а звезды без кругов служили просто обозначением ночных светил.