Изучение оптики продолжалось в Александрии в середине II в н. э. великим астрономом Клавдием Птолемеем (не имевшим отношения к царской династии Птолемеев). Его книга «Оптика» известна в переводе на латынь с утерянного перевода на арабский язык с утраченного греческого оригинала (возможно, впрочем, промежуточным звеном был еще и исчезнувший перевод на древний сирийский язык). В этой книге Птолемей описывает измерения, подтверждающие правило равенства угла падения и отражения, ранее сформулированное Евклидом и Героном. Он также распространяет это же правило на отражения от кривых зеркал, типа тех, которые сейчас можно увидеть в парках аттракционов. Птолемей верно заключил, что отражение света от поверхности кривого зеркала происходит точно так же, как и отражение от зеркала плоского – при равенстве углов падения и отражения по отношению к нормали в точке отражения.

В заключительном томе «Оптики» Птолемей также описывал преломление света – явление, когда световые лучи изменяют направление при переходе из одной прозрачной среды в другую, например, из воздуха в воду. Он разметил диск отметками углов и наполовину погрузил в сосуд с водой. Наблюдая объект на дне сосуда сквозь трубку, укрепленную на краю диска, он смог замерить углы, которые исходный и преломленный лучи образуют с перпендикуляром к поверхности воды, с точностью, колебавшейся от долей градуса до нескольких градусов{52}. Как будет описано в главе 13, закон, раскрывающий соотношение этих углов, был выведен в XVII в. Ферма как простое расширение принципа, сформулированного Героном об отражении: преломление обусловлено тем, что путь луча света от объекта к глазу наблюдателя не кратчайший геометрически, а такой, который занимает наименьшее время прохождения пути для света. В случае отражения между кратчайшим и самым быстрым путем разницы нет, поскольку и падающий, и отраженный лучи движутся сквозь одну и ту же среду, и пройденное расстояние прямо пропорционально времени, но в случае преломления разница существует, так как скорость света меняется при переходе из одной среды в другую. Птолемей этого не понял; истинный закон преломления, известный как закон Снеллиуса (для французов – закон Декарта), был открыт в результате экспериментов только в начале XVII в.

Наиболее впечатляющих успехов из ученых-практиков эпохи эллинизма (и, не исключено, вообще всех эпох) добился Архимед. Он жил в III в. до н. э. в греческом городе Сиракузы на Сицилии, но есть сведения, что он как минимум однажды бывал в Александрии. Архимеду приписывают изобретение различных видов блоков и винтов, а также ряда военных механизмов, таких как «Лапа Архимеда», в основе которых лежал принцип рычага. С их помощью обороняющиеся в прибрежной крепости могли хватать и переворачивать вражеские корабли, стоящие на якоре у берега. Одним из его изобретений, широко использовавшимся в сельском хозяйстве на протяжении веков, стал так называемый винт Архимеда – приспособление для подъема воды из каналов для орошения полей. История о том, что Архимед при обороне Сиракуз использовал искривленные зеркала, чтобы сфокусировать солнечные лучи на римских кораблях и поджечь их, наверняка легенда, но она свидетельствует о том, что он приобрел репутацию волшебника в области техники.

В своем труде «О равновесии плоских фигур» Архимед вывел правило работы рычажных весов: стержень с грузами на обоих концах находится в равновесии тогда, когда расстояния между концами и точкой опоры стержня обратно пропорциональны весам этих грузов. К примеру, если на один конец стержня положить гирю в пять килограмм, а на другой – в один килограмм, то равновесие получится тогда, когда расстояние от килограммовой гири до точки опоры будет в пять раз больше, чем от точки опоры до пятикилограммовой гири.

Самое великой научное открытие Архимеда в области физики содержится в его книге «О плавающих телах». Архимед доказывал, что если какая-то часть жидкости окажется сдавлена в вертикальном направлении сильнее другой части весом самой жидкости или плавающими или погруженными в нее телами, то жидкость станет течь, пока все ее части не будут сдавлены одинаковым весом. Он формулировал это так:

Отсюда Архимед заключил, что плавающее тело погружается в жидкость до уровня, на котором его собственный вес уравнивается весом вытесненной им жидкости. (Именно поэтому, говоря о весе судна или корабля, используют термин «водоизмещение».) Кроме того, твердое тело, слишком тяжелое, чтобы плавать, погруженное в жидкость, будучи подвешенным к рычагу весов на веревке, «…будет легче своего истинного веса на величину веса вытесненной жидкости» (см. техническое замечание 9). Отношение истинного веса тела к значению уменьшения его веса в погруженном в воду состоянии называется относительной плотностью тела, то есть отношением веса тела к весу воды того же объема. У каждого материала есть свое характерное значение относительной плотности: для золота оно равняется 19,32, для свинца – 11,34 и т. д. Этот метод, выведенный из систематического изучения статики жидкостей, позволил Архимеду выяснить, была ли царская корона изготовлена из чистого золота или сплава золота с более дешевыми металлами. Не установлено, применял ли сам Архимед свое открытие на практике, но и столетия спустя этот метод оставался надежным способом выяснения состава материалов.

Еще более потрясающих успехов Архимед добился в математике. Используя технику, предвосхитившую интегральный анализ, он смог вычислить площади и объемы различных плоских фигур и пространственных тел. Например, площадь круга равна половине длины соответствующей окружности, помноженной на радиус (см. техническое замечание 10). Используя методы геометрии, он показал, что соотношение, выражаемое числом, которое мы (но не Архимед) называем «пи», то есть отношение длины окружности к ее диаметру, находится между 3 1/7 и 3 10/17. Цицерон свидетельствует, что он видел на могильном камне Архимеда чертеж цилиндра, описанного вокруг сферы, поверхность которой касается боковой поверхности и обоих концов цилиндра, наподобие теннисного мяча, плотно всунутого в жестяную банку. По всей видимости, Архимед больше всего гордился своим доказательством того, что в этом случае объем сферы составляет ровно 2/3 объема цилиндра.

Существует рассказ о смерти Архимеда, переданный древнеримским историком Титом Ливием. Архимед погиб в 212 г. до н. э. во время разграбления Сиракуз римскими воинами под командованием Марка Клавдия Марцелла (до этих событий власть в Сиракузах была захвачена сторонниками Карфагена во время Второй Пунической войны). Когда римляне ворвались в Сиракузы, Архимеда убил солдат в тот момент, когда он работал над решением очередной геометрической задачи.