На первый взгляд кажется очевидным, что социальные сети для небольших групп населения (типа нарисованной схемы связей между киноактерами) должны относиться к классу случайных. Идея выглядела вполне разумной, учитывая явно случайный характер многих социальных связей, и многие социологи стали рассматривать ее в качестве основы построения социальных сетей. Однако в 1998 году двое ученых из Корнельского университета (Стивен Строгац и его студент Дункан Ватте) показали, что социальные сети не относятся к случайным графам, а образуют собственный класс, промежуточный между упорядоченными и случайными графами. Такие структуры, лежащие где-то между полным беспорядком (в случайных графах) и полным порядком (в упорядоченных графах), были очень удачно названы авторами сетями малых миров.

Дружба обычно является взаимосвязанной, т. е. большинство моих друзей чаще всего дружат или хотя бы хорошо знают друг друга. Другими словами, я и мои друзья образуем то, что можно назвать социальным кластером; разумеется, каждый из нас входит в несколько таких кластеров. Именно наличие таких кластеров не позволяет использовать для описания структуры общества случайные графы, так как в таких системах случайны все образующиеся связи, в результате чего двое моих близких могут ничего не знать друг о друге, что явно нереально. С другой стороны, упорядоченные графы с самого начала содержат некие кластеры благодаря заданному числу ребер у каждой вершины[134], соединяющих ее со всеми ближайшими соседями. В такой системе велика вероятность, что близкие «друзья» будут располагаться группами.

Строгацу и Ваттсу удалось в конце 1990-х годов найти новый подход к задаче об образовании кластеров, позволяющий удачно моделировать многие явления в социальных сетях. Интересно, что вначале исследователей интересовала вовсе не социология, а зоология, так что они планировали применить модель лишь для описания синхронизации поведения групп животных. Такая синхронизация, или подражание, свойственна и людям, поэтому неудивительно, что исследования быстро привели Строгаца и Ваттса к социальным сетям, концепция которых только-только начала разрабатываться.

Прежде всего они теоретически представили два диаметрально противоположных типа человеческих сообществ. В первом из них все люди разбиты на небольшие разрозненные группы, не связанные с посторонними. Такие изолированные и замкнутые сообщества являются довольно распространенными, например, служащие некоторых японских фирм настолько зациклены на работе, что круг их социальных контактов ограничивается коллегами. Однако авторы модели предпочли другую, более яркую аналогию: они назвали группы этого типа «мирами пещерных людей», подразумевая небольшие и почти изолированные группки первобытных людей, занимающих отдельные пещеры и остерегающихся любых чужаков. На самом деле такой образ жизни сохранялся довольно долго, и еще во времена Томаса Гоббса многие английские деревни представляли собой, в сущности, такие замкнутые малые миры. Описывая такие сообщества графами, можно сразу заметить, что они имеют очень высокую внутреннюю связность, но не связаны друг с другом (рис. 15.6, а). Даже при частичном и искусственном соединении таких «пещер» друг с другом (рис. 15.6, б) связность системы в целом повышается лишь незначительно. После соединения получается граф с очень высокой степенью кластеризации и большим значением характеристической длины.

Аналоги другой, противоположной социальной структуры следует искать не в далеком прошлом, а в настоящем и будущем. Еще в 1957 году известный фантаст Айзек Азимов написал роман Голое солнце, где изобразил общество будущего, в котором люди общаются друг с другом исключительно при помощи роботов и компьютеров. В придуманной автором стране Солярии расстояние не играет никакой роли при общении, а дружеские связи становятся виртуальными, слабыми и почти незаметными, поскольку люди начинают дружить (или, наоборот, прекращают общаться) очень легко, кроме того, новые дружеские связи завязываются независимо от уже существующих. Описание такого общения соответствует связям в случайных графах, где почти не образуются устойчивые кластеры. В качестве наиболее простого примера можно привести чаты в Интернете, куда посетители заходят свободно или даже случайно, поскольку это не требует от них никаких усилий.

Для сравнительного анализа двух столь разных структур Строгац и Ватте оценили вероятность того, что два человека познакомятся, в зависимости от количества их общих друзей. В пещерном мире два человека, имеющие общего друга, гарантированно знакомы, так как принадлежат к одному клану, а в Солярии множестве друзей и знакомых каждого человека не знают друг о друге.

Понятно, что наше общество по своему устройству лежит где-то между этими крайними формами. Вот только где?

Математический анализ ситуации требует прежде всего, чтобы все описывающие социальные связи графы были полностью связными. Но при этом во многих ірафах некоторые вершины практически недостижимы из других вершин, на математическом языке это означает, что характеристическая длина стремится к бесконечности, что не согласуется с реальной картиной социальных сетей. Поэтому Строгац и Ватте начали работу с чрезвычайно важного шага — предложили метод постепенного, многостадийного преобразования полностью связного упорядоченного графа (аналог пещеры со связями между всеми членами сообщества) в полностью связный, но случайный граф (аналог фантастической Солярии). Понятно, что в процессе такого преобразования все промежуточные графы должны оставаться полностью связными.

Авторы назвали свой подход методом случайных переключений связей. В исходном состоянии система представляет собой упорядоченный граф, вы выбираете случайным образом какую-то вершину и случайным же образом уничтожаете одно из ведущих к ней ребер, затем случайным образом выбираете другую вершину и соединяете их ребром. По мере переключения связей начальный упорядоченный граф постепенно превращается в случайный, как показано на рис. 15.7. При этом увеличивается количество прямых связей, соединяющих удаленные вершины ірафа.

В качестве начального состояния исследователи выбрали простейший упорядоченный граф, в котором все вершины располагаются на окружности (напомним, что окружность в отличие от простой одномерной последовательности вершин позволяет не учитывать краевых эффектов). Постепенно переключая связи, исследователи не только изучили процесс перехода, но и вычислили все промежуточные значения двух главных топологических характеристик сетей: характеристическую длину пути L и численный показатель кластеризации С[135]. Количество переключений может быть количественно охарактеризовано вероятностью того, что конфигурация произвольно выбранной вершины отличается от начальной, т. е. равенство этой вероятности нулю соответствует полной упорядоченности системы, а единице — абсолютно случайному графу.