Согласно Евклиду, у точки вообще нет измерения. У линии одно измерение — длина. У плоскости — два: длина и ширина. У тела — три: длина, ширина и высота. На этом всё и заканчивается. Нет ничего, что имело бы четыре измерения. Эти утверждения эхом повторял философ Аристотель, вероятно, первым в мире категорически заявивший, что четвёртое пространственное измерение невозможно. В трактате «О небе» он писал: «Величина, делимая в одном измерении, есть линия, в двух — плоскость, в трёх — тело, и, кроме них, нет никакой другой величины, так как три суть всё». Более того, в 150 г. н. э. астроном Птолемей из Александрии пошёл дальше Аристотеля и в своём труде «О расстояниях» предложил первое оригинальное «доказательство» невозможности четвёртого измерения.

Сначала, предлагал он, проведём три взаимно перпендикулярные линии. Например, угол куба представляет собой три линии, перпендикулярные друг другу. Затем попробуем провести четвёртую линию, перпендикулярную остальным трём. Как бы мы ни старались, утверждает Птолемей, провести четвёртый перпендикуляр невозможно. По мнению Птолемея, четвёртую перпендикулярную линию «нельзя измерить и определить». Таким образом, четвёртое измерение невозможно.

В действительности же Птолемей доказал невозможность визуализировать четвёртое измерение с помощью нашего трёхмерного мозга (сегодня нам уже известно немало объектов математики, которые нельзя представить, однако их существование можно доказать). Птолемей мог бы войти в историю как человек, противостоявший двум великим идеям в науке: гелиоцентрической Солнечной системе и четвёртому измерению.

За прошедшие с тех пор века появлялось немало математиков, с пеной у рта отвергавших четвёртое измерение. В 1685 г. Джон Уоллис (Валлис) высказывался против этой концепции, называя её «Чудовищем в мире природы, ещё менее возможным, чем химера или кентавр… Длина, ширина и высота исчерпывают пространство. Никакому воображению не под силу представить четвёртое пространственное измерение помимо этих трёх»{8}. В течение нескольких тысяч лет математики повторяли эту роковую ошибку: что четвёртое измерение не существует по той причине, что мы не в состоянии вообразить его себе.

Решительное отступление от евклидовой геометрии произошло, когда Гаусс поручил студенту Риману подготовить доклад об «основах геометрии». Гаусс всерьёз заинтересовался вопросом, сумеет ли его ученик разработать альтернативу евклидовой геометрии. (За несколько десятилетий до этого Гаусс сам в личных беседах выражал всяческие сомнения относительно евклидовой геометрии. Он даже упоминал в разговорах с коллегами гипотетических «книжных червей», живущих исключительно в двумерном пространстве. Он говорил, что это распространяется на геометрию многомерного пространства. Но будучи крайне консервативным человеком, Гаусс никогда не публиковал своих работ по многомерности, зная, какой взрыв негодования они вызовут у ограниченной, реакционно настроенной «старой гвардии». Гаусс презрительно окрестил их «беотийцами» — по названию одной из народностей Греции, представителей которой считали умственно недоразвитыми{9}.)