Несмотря на то что Архимед легко заметил логическое несоответствие в приравнивании точки к поверхности, в данном случае он прячется за аргументацией ad logicam, то есть просто прибегает к уловке. То, что фраза неправильно построена, не значит, что аргументация Аристарха ошибочна. Так или иначе, он сообщает Гелону, что числа, которыми он будет оперировать, превосходят даже число песчинок, которыми можно было бы заполнить всю Вселенную. Затем он делает предположение, что земная окружность составляет 300 мириад стадиев, и напоминает: Земля больше Луны и меньше Солнца. Одна мириада — это 10000. Тем не менее сопоставление стадия с мерами длины нынешней Международной системы представляет собой некоторую проблему: в древности стадий не был неизменной единицей длины, он был разным. В любом случае здесь важна не точность измерения Земли, а стремление Архимеда показать, что он может записать любое число. В этой работе он рассуждает также о соотношении диаметров Солнца, Земли и Луны. Как раз здесь он упоминает своего отца:

«Таким образом, диаметр Солнца в 30 раз больше диаметра Луны и не более того, хотя среди прежних астрономов Евдосий считал, что он больше в 9 раз, мой отец Фидий — что в 2 раза, а Аристарх пытался доказать, что диаметр Солнца более чем в 18 раз больше диаметра Луны, но менее чем в 20».

Хотя можно отметить, что тема измерения небесных тел всегда была интересна астрономам, Архимед касается ее только походя, чтобы детально описать изготовление диоптра — инструмента, который греческие астрономы использовали для замеров положения звезд. Он вскоре заканчивает рассуждения о размерах, чтобы перейти к своей новаторской числовой системе. Что касается последней, по-видимому, до нас не дошел труд, о котором он пишет:

«Но я полагаю, что было бы полезным также поговорить о названиях чисел — среди прочего, чтобы не пропало то, что я написал в книге, посвященной Зевксиппу, поскольку по этому вопросу раньше никто ничего не говорил. На самом деле получается, что известные наименования чисел доходят до нескольких мириад. Здесь же называются числа до мириад мириад».

В итоге Архимед вводит последовательные возрастающие порядки чисел, замечая, что так можно обозначить любое число. Описав числовую систему, он выполняет ряд оценочных расчетов: например, он предполагает, что в одном маковом зернышке умещаются 10 000 песчинок. В конце концов он доходит до числа песчинок, которым можно было бы заполнить Вселенную. В нашей системе записи это было бы 1063, то есть единица и после нее 63 нуля.

Предложенная Архимедом в «Исчислении песчинок» числовая система известна как система октад, и в свое время у нее был большой потенциал, хотя она и осталась неизвестна большинству математиков. Вплоть до эпохи Архимеда использовались следующие термины: единица, десяток, сотня, тысяча и мириада (10000). Он же предложил пойти дальше мириады. Дойдя до конца цифр, он решил разбить их на восемь разрядов — вышеперечисленные цифры и их произведения.

Архимед Математическая запись Название Единица 1 = 100 Один Десяток 10 = 101 Десять Сотня 100 = 102 Сто Тысяча 1000 = 103 Тысяча Мириада (единица мириад) 10000 = 104 Десять тысяч Десяток мириад 10-10000 = 105 Сто тысяч Сотня мириад 100-10 000 = 106 Миллион Тысяча мириад 1000-10 000 = 107 Десять миллионов Мириада мириад 10000-10000 = 108 Сто миллионов

Таким образом, мы имеем систему, основой которой является 108 — число, именуемое октадой. Каждый раз при превышении этого цикла число переходит из одного разряда в другой со следующими названиями.

От 1 до 108 - 1 «Первые числа», первое число этого разряда — 1 От 108 до 1016-1 «Вторые числа», первое число этого разряда —108 От 1016 до 1024 - 1 «Третьи числа», первое число этого разряда —1016 и так далее

Следовательно, мы можем дойти до 108 в степени 108, и все это — числа «первого периода». Дальше счет может перейти ко второму периоду, третьему периоду и так далее. Наибольшее число, которое называет Архимед, это «мириадно мириадный» период, то есть

или же единица с 80 трлн нулей (80000 1012) ... Действительно невероятное число!

В заключении «Исчисления песчинок» Архимед приходит к утверждению, что во Вселенной может поместиться 1000 мириад восьмых чисел (1056) песчинок. Это значит, что число песчинок, которыми можно заполнить Вселенную, составляет 103 • 104 • 1056 = 1063.

Сегодня такие величины в некоторых областях науки и технологии обычны. Во Вселенной, например, содержатся 1082 протонов, а самое большое из имеющих название число — это гугол, то есть 10100 (1 и сотня нулей). Термин гугол придумал в 1938 году Милтон Сиротта, девятилетний внук американского математика Эдварда Казнера. Любопытный факт: название поисковой системы Google произошло как раз от английского написания слова «гугол» (googol). А в Калифорнии штаб-квартира Google называется Googleplex, что напоминает о гуголплексе — термине, который Казнер использовал для числа 10googol, то есть 10 в степени, которая выражается единицей со 100 нулями.