Поэтому проводить описанные здесь эксперименты имеет смысл только на масштабах, превышающих масштабы неоднородностей во Вселенной. Иными словами, на масштабах, существенно превышающих размеры нашей Галактики. Однако в идеальном случае однородной изотропной Вселенной мы можем рассматривать подобные мысленные эксперименты, чтобы лучше понять различие между разными типами расстояний, вводимых в кривом пространстве. Для реальных же наблюдений совершенно необходимы большие масштабы. И все описанные ниже наблюдения – по вспышкам сверхновых, по неоднородностям реликтового излучения, по барионным акустическим колебаниям – удовлетворяют этому требованию.

Отметим один забавный нюанс, касающийся замкнутой модели Вселенной. Если бы Вселенная не расширялась, а скорость света была бесконечной, то, посмотрев в сверхмощный телескоп, мы могли бы увидеть собственный затылок. Это явление аналогично тому, что путешественник, идущий строго на запад, в конце концов вернется в исходную точку. С этим обстоятельством были связаны весьма наивные наблюдения, предпринятые некоторыми астрономами достаточно давно. Они наводили свой телескоп в сторону, прямо противоположную наиболее далеким из известных в то время астрономических объектов, в попытке увидеть их с другой стороны. На самом деле знакомство с релятивистской космологией не в популярном изложении избавило бы их от напрасных наблюдений. Дело в том, что даже если реальная Вселенная замкнута, она расширяется, а потом сжимается. Время, необходимое свету на то, чтобы обогнуть всю замкнутую Вселенную, как показывают расчеты, больше времени существования такой Вселенной от Большого взрыва до Большого хруста.

Теперь, узнав о геометрии Вселенной, мы можем вернуться к обсуждению понятия масштабного фактора. Мы могли бы использовать расстояние между любыми произвольными точками в качестве масштабного фактора, но в однородной Вселенной нет избранных точек. Тем не менее существует естественный пространственный масштаб в замкнутой Вселенной Фридмана. Это радиус кривизны Вселенной, который и используется в качестве масштабного фактора азакрытой модели. В открытой модели радиус кривизны Вселенной отрицателен, так что масштабный фактор а определяется как абсолютная величина этого радиуса. В обоих случаях величина масштабного фактора в настоящее время равна некоторому значению а0. Мы используем индекс 0, чтобы указать значения величин в современную эпоху.

Совершенно иначе обстоит дело у плоской модели с нулевой пространственной кривизной, в которой нет никакого естественного масштабного фактора. Чтобы обойти это препятствие, полагают а0 = 1. В результате величина масштабного фактора определяется как отношение расстояния между любыми достаточно удаленными объектами (так что они не являются гравитационно связанными друг с другом) в данной эпохе к его значению сейчас. В этой книге мы будем использовать подобное отношение для всех моделей. Для такого выбора есть несколько причин. Среди прочего наша Вселенная плоская или почти плоская, и мы не знаем значения ее радиуса кривизны.

Мы обозначим это отношение буквой u. Оно совпадает с определением масштабного фактора в случае плоской модели. Для открытых или закрытых моделей ему соответствует соотношение u = a/a0. Для простоты мы называем его относительным масштабным фактором. Обратная величина 1/u тесно связана с красным смещением z с помощью простой формулы 1/u = 1 + z. Постоянная Хаббла равна H = (du/dt)/u.

Один из возможных способов сделать выбор между тремя моделями Фридмана – это определение так называемого космологического параметра замедления q. Параметр замедления связан со скоростью, с которой уменьшается с течением времени постоянная Хаббла (детали см. в подразделе 2.7.3). Эта величина положительна для всех трех моделей Фридмана. В замкнутой модели она больше, чем 0,5, в плоской модели равна 0,5, а в открытой модели меньше, чем 0,5, но всегда положительна.

Определение параметра замедления реальной Вселенной на основе данные о вспышках сверхновых дало неожиданный результат. Полученное значение оказалось отрицательным, это означает, что наша Вселенная в настоящее время расширяется с ускорением. Открытие принесло его авторам – Солу Перлмуттеру, Брайану Шмидту и Адаму Риссу – Нобелевскую премию по физике в 2011 г. «За открытие ускоренного расширения Вселенной посредством наблюдения дальних сверхновых». Для объяснения этого эффекта необходимо ввести новый элемент, а именно космологическую постоянную, или темную энергию.

Как мы уже упоминали в главе 1, через некоторое время после появления релятивистской космологии было обнаружено, что многие ее результаты можно получить, не прибегая к ОТО. В этом разделе мы получим математическое описание трех моделей Фридмана, используя классический ньютоновский закон всемирного тяготения, и вычислим для них параметр замедления.

Рассмотрим вначале простейшую модель, когда Вселенная равномерно заполнена пылевидной материей, т. е. материей, не имеющей давления, с плотностью ρ(t). Выберем произвольную точку, которую будем считать центром Вселенной. Естественно, мы можем взять любую другую точку и назначить ее в качестве центра Вселенной, но из-за однородности Вселенной уравнения и их решения будут теми же.

Рассмотрим сферу радиуса r(t) вокруг этого центра, привязанную к материи и расширяющуюся вместе с ней по закону Хаббла (2.1). Ни один атом или частица материи не могут пересечь эту сферу. Все, что было внутри сферы, остается внутри навсегда, все, что снаружи сферы, всегда будет снаружи, а то, что на поверхности, остается на поверхности. Радиус сферы мал по сравнению со значением c/H, поэтому его изменение нерелятивистское, и мы можем использовать простейший вариант закона Хаббла (2.1) v(t) = H(t)r(t), где v(t) = dr(t) / dt – это скорость расширения сферы с радиусом r(t). Таким образом, H(t) = dr(t) / dt r−1(t).

Объем шара равен 4πr3/3, масса пылевидного вещества внутри этой сферы равна M = 4πρr3/3. Эта масса остается постоянной во время расширения, поэтому, вводя константу B = 3M/4π, мы получаем закон изменения плотности со временем в виде

ρ(t) = Br(t)–3. (2.8)

Как вы можете видеть, до сих пор не возникло никаких «математических кошмаров». Следующим шагом является получение уравнения, описывающего расширение Вселенной, и выведение из него зависимостей r(t) и H(t).