Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G, а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).

А как насчет числа 1/I? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они — «настоящие» бесконечно малые числа — оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом[37]. В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа — интегрирование и дифференцирование — в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, — это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.

Если бы такой внеземной цивилизации с ее внеземной математикой удалось создать некую технологию, недостижимую для нас, — например, машину времени, — то мы почти наверняка сочли бы ее чудом. Если возможности математики, обеспечившие возможность такого изобретения, были бы для нас непостижимы, они казались бы нам волшебством. С другой стороны, возможно, что наши инопланетяне, которым мешала бы сложность сложения и умножения, так и не открыли бы законов электричества. Вполне может быть, что обычный электромотор казался бы им настоящим чудом.

Вернемся к нашей Фиби с ее винтовкой и посмотрим, как она могла бы использовать эту новую систему чисел. Ограничиваясь традиционными вещественными числами (как целыми, так и нецелыми), мы можем выразить все возможные результаты выстрела из винтовки в реальном мире. Но если мы расширим свой горизонт, включив в рассмотрение и гипервещественные числа, то у каждого выстрела появятся новые возможности. Например, пуля может попасть в гиперудаленную точку, находящуюся на расстоянии I + 3 км от середины стены, хотя вероятность такого попадания может быть выражена бесконечно малым числом порядка 1/I. Однако следует отметить, что эта вероятность не будет нулевой: число 1/I заведомо не равно нулю. Оно больше нуля, хотя и меньше любого положительного вещественного числа. Поэтому мы в некотором смысле можем считать такую вероятность «практически» нулевой. Допустив в свою среду гипервещественные числа, мы начинаем получать результаты столь необычайно редкие, что предвидеть их появление мы никак не можем. Тем не менее они могут появляться, и, если это происходит, такой результат совершенно не похож на результат обычного, повседневного выстрела. Тем из нас, кто вырос на традиционных вещественных числах, такой выстрел, возможность существования которого обеспечивает теорема Гёделя, покажется самым настоящим чудом.

Описывая Джона фон Неймана, историк науки Джейкоб Броновски сказал: «Он был самым умным из известных мне людей, безо всякого исключения. Он был гением»[38]. Еще когда фон Нейман учился в Будапеште, в легендарной лютеранской гимназии Фашори, товарищи по учебе знали, что он гений, — а сами они тоже были людьми незаурядными. Из этой школы вышли всемирно известные ученые, в том числе Юджин Вигнер, Джон Харсаньи и Эдвард Теллер. Фон Нейман умер рано, всего лишь в пятьдесят три года, оставив после себя новаторские работы по самым разным предметам, в том числе по архитектуре вычислительных систем, квантовой механике и теории игр. За годы, прошедшие после его смерти, пять человек получили Нобелевские премии по экономике за результаты, достигнутые в области теории игр, а еще десять или двенадцать Нобелевских премий были присуждены экономистам, применившим математические методы, которые разработал фон Нейман.

Фон Нейман не был гением рассеянным, витающим в облаках, каким мы часто воображаем гения. В нем не было ничего не от мира сего. Мыслями он мог парить в высях, но ногами прочно стоял на земле. В конце 1930-х годов, когда вновь созданный Институт перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне, Нью-Джерси, предложил ему место, он затребовал годовую зарплату $16 000, что по тем временам было изрядной суммой. Кроме того, он выдвинул еще одно условие: он не хотел оказаться в таком месте, где бы не было никого умнее его. Он считал, что если вы — самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно. По счастью, в тот же институт уже поступили на работу Альберт Эйнштейн и Герман Вейль, а двумя годами позже к ним присоединился и Курт Гёдель. Все трое бежали из гитлеровской Европы.

Фон Нейман спросил Эйнштейна, какое жалованье тот думал просить, Эйнштейн скромно сказал, что, по его мнению, он может стоить несколько тысяч долларов в год. Тогда фон Нейман велел Эйнштейну исчезнуть на несколько дней и за это время выбил для него годовую зарплату $18 000.

Эйнштейн с Гёделем часто проводили дни напролет в лесах, окружающих Принстон. Иногда к ним присоединялся фон Нейман или кто-нибудь другой из ученых, но чаще всего они были вдвоем. На одной из таких прогулок никто из них не произнес за день ни слова, а когда они вернулись домой, каждый сказал жене, что у них состоялась в высшей степени увлекательная беседа. Оказывается, молчать тоже не все равно с кем.