Следующие книги рекомендуются для углубленного изучения теории игр и используются главным образом во время обучения в магистратуре: «Курс теории микроэкономики» Дэвида Крепса (David Kreps. A Course in Microeconomic Theory. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990); «Теория игр» Дрю Фаденберга и Жана Тироля (Drew Fudenberg, Jean Tirole. Game Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1991).

В этой книге мы мало внимания уделили анализу так называемых кооперативных игр. Речь идет об играх, участники которых предпринимают совместные действия ради достижения равновесия. Это было сделано по следующей причине: мы считаем, что кооперация должна возникать как следствие равновесного итога некооперативной игры, в которой игроки действуют разрозненно. Иными словами, если у кого-то из игроков есть стимул нарушить условия договоренности, этот факт необходимо учитывать в процессе выбора стратегии. Читатели, которых интересует тема кооперативных игр, могут найти их описание в упомянутых книгах Мортона Дэвиса, Данкана Люче и Говарда Райффы. Более подробно эта тема изложена в книге Мартина Шубика «Теория игр в общественных науках» (Martin Shubik. Game Theory in the Social Sciences. Cambridge, MA: MIT Press, 1982).

Существует ряд замечательных книг, посвященных практическому применению теории игр. Один из самых ярких примеров – использование теории игр в процессе разработки схем проведения аукционов. Лучший источник информации по этой теме – книга Пола Клемперера «Аукционы: теория и практика» (Paul Klemperer. Auctions: Theory and Practice, The Toulouse Lectures in Economics. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2004). Профессор Клемперер занимался разработкой многих аукционов, продающих лицензии на частоты мобильной связи, в том числе британского, который принес в казну страны 34 миллиарда фунтов и едва не привел к банкротству всей телекоммуникационной промышленности. Применение теории игр в области права рассматривается в книге Дугласа Берда, Роберта Гертнера и Рэндала Пикера «Теория игр и право» (Douglas Baird, Robert Gertner, Randal Picker. Game Theory and the Law. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1998). Среди многочисленных идей, выдвинутых в этой книге, стоит обратить внимание на концепцию информационного условного депонирования, которая оказалась особенно полезным инструментом ведения переговоров{188}. Применению теории игр в области политики посвящены следующие книги: «Теория игр и политика» Стивена Брамса (Steven Brams. Game Theory and Politics. New York: Free Press, 1979), а также вышедшая недавно книга того же автора «Математика и демократия: совершенствование процедур голосования и справедливого дележа» (Mathematics and Democracy: Designing Better Voting and Fair-Division Procedures. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007); «Искусство политической манипуляции» Уильяма Райкера (William Riker. The Art of Political Manipulation. New Haven, CT: Yale University Press, 1986); «Теория игр и политическая теория» Питера Ордешука (Peter Ordeshook. Game Theory and Political Theory. New York: Cambridge University Press, 1986). О применении теории игр в бизнесе идет речь в книге Майкла Портера «Конкурентная стратегия» (Портер М. Конкурентная стратегия. Методика анализа отраслей конкурентов. М.: Альпина Паблишер, 2011), Престона Макафи «Конкурентные решения: инструментарий стратега» (R. Preston McAfee. Competitive Solutions: The Strategist’s Toolkit. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005) и Говарда Райффы «Искусство и наука переговоров» (Howard Raiffa. The Art and Science of Negotiation. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1982).

В интернете лучшую подборку ссылок на книги, фильмы и другие источники информации по теории игр можно найти на сайте www.gametheory.net.

Вы выиграете, если оставите соперника с 1 флажком, который тот вынужден будет взять. Это означает, что вы окажетесь в выигрышной позиции, если начнете раунд с 2, 3 или 4 флажков. Проиграет тот, кто останется с 5 флажками, поскольку, что бы этот человек ни сделал, он оставит соперника с 2, 3 или 4 флажками. Проиграет и тот, кто останется с 9 флажками. Придерживаясь этой же логики и дальше, можно сделать вывод о том, что игрок, начинающий игру с 21 флажка, находится в проигрышной позиции (при условии, что соперник использует правильную стратегию и на каждом ходе сокращает общее число оставшихся флажков на четыре).

Еще один способ решить эту задачу сводится к тому, чтобы считать победителем человека, забравшего предпоследний флажок, поскольку в таком случае соперник остается с одним флажком, который ему придется взять. Забрать предпоследний флажок – все равно что взять последний флажок в игре, в которой задействовано на один флажок меньше. Если в игре 21 флажок, вы должны действовать так, будто в ней всего 20 флажков, и попытаться забрать последний флажок из 20. К сожалению, это тоже проигрышная позиция, по крайней мере если соперник понимает логику игры. Этот пример подтверждает тот факт, что игрок, делающий первый ход, не всегда имеет преимущество в игре (о чем мы уже говорили вглаве 2).

Если вы хотите сами выполнить все эти расчеты, используйте следующую формулу для вычисления количества товаров, которые может продать компания RE:

количество товаров, проданных RE, = 2800 – 100 × цена RE + 80 × цена BB.

Формула расчета количества товаров, которые может продать компания BB, представляет собой зеркальное отображение данной формулы. Для того чтобы рассчитать прибыль обеих компаний, вспомните, что себестоимость единицы продукции каждой из них составляет 20 долларов. Следовательно, формула расчета прибыли выглядит так:

прибыль RE = (цена RE – 20) × количество товаров, приданных RE.

Формула расчета прибыли BB аналогична.

Эти же формулы можно ввести в электронную таблицу Excel. В первом столбце (столбце A) напечатайте цены RE, по которым вы хотите сделать расчеты в строках 2, 3, …. Поскольку в нашем диапазоне цен всего пять значений, это будут строки 2–6. В верхней строке (строке 1) напечатайте цены BB, соответствующие столбцам B, C, … – в данном случае это столбцы B – F. В ячейке B2 введите формулу: =МАХ(2800–100*$A2+80*B$1,0).

Обязательно указывайте знаки доллара: согласно принятым в Excel обозначениям, они создают необходимые абсолютные и относительные ссылки на ячейки, когда формула копируется и вставляется в другие ячейки, соответствующие другим сочетаниям цен. Приведенная формула гарантирует, что в случае слишком большой разницы между ценами, установленными двумя компаниями, количество товаров, которые может продать компания, назначившая более высокую цену, не будет выражено отрицательным числом. Так выглядит таблица расчета количества товаров, которые может продать компания RE.