Здесь надо сложить бесконечное множество слагаемых. Первое слагаемое равно ½, а каждое следующее слагаемое вдвое меньше предыдущего. Уберем из суммы первое слагаемое, а именно ½, и у нас останется

Совершенно очевидно, что это ровно половина от предыдущей суммы. Эта половина ровно на одну вторую меньше предыдущей суммы. Следовательно, предыдущая сумма равна в точности единице, ибо если из единицы вычесть одну вторую, то останется одна вторая, а это ровно половина единицы.

Тот, кто читает это в первый раз, будет вначале несколько обескуражен, потому что этот аргумент выглядит как шулерский трюк. Однако если прочитать все это медленно и несколько раз, то можно проникнуться ходом мыслей и убедиться в безупречной, впечатляющей логике этой последовательности рассуждений.

Кого эта логика точно бы не впечатлила, так это Архимеда. Его толкование было более убедительным: с одной стороны, каждая конечная сумма фрагментов уджата меньше единицы. С другой стороны, каждое число, меньшее единицы, будет превзойдено конечной суммой долей уджата, если Тот добавит достаточное количество новых фрагментов. Таким образом, сумма долей уджата приближается к числу 1 с любой произвольной степенью точности. Большего об этой сумме сказать нельзя.

То, что Архимед прав в своем скепсисе, показывает следующий пример другой бесконечной суммы, а именно:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

Если мы примем сторону открывателей «исчисления», то аналогичный ход мыслей выглядит так: мы хотим вычислить бесконечную сумму, утверждают Ньютон и Лейбниц. Для этого надо сложить бесконечное число слагаемых. Первое слагаемое равно единице, а каждое следующее слагаемое вдвое больше предыдущего. Уберем первое слагаемое, и у нас останется

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Совершенно очевидно, что здесь мы имеем двойную величину предыдущей суммы. И эта двойная величина на единицу меньше предыдущей суммы. Следовательно, она равна –1, ибо если из –1 вычесть 1, то останется –2, то есть величина, вдвое большая чем –1.

Этот аргумент слово в слово повторяет вышеприведенный аргумент. Тот, кто убедился в правильности предыдущих рассуждений, должен признать и корректность этих. Однако аргументация изобретателей «исчисления» приводит к поистине парадоксальному выводу:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = –1.

Этот результат очевидно нелеп! Действительно, в своей попытке убедить себя и других в том, что можно рассчитывать бесконечные суммы, изобретатели «исчисления» слишком много о себе вообразили. Они, конечно, математические гении, но математическими богами они не были.

Все же это горький жребий — быть греческим богом, особенно в одном из образов, нарисованных Гесиодом или Гомером в их фантастических повествованиях. Боги греков (и просвещенные греки времен Платона, естественно, это знали) были воплощением мерзости: прежде всего, неугомонный женолюб отец богов Зевс; преследующая его ревнивица Гера; рожденная из морской пены Афродита, кружившая головы как богам, так и простым смертным; рожденная из головы Зевса, вечно девственная и злобная Афина; мрачный бог подземного мира Аид и заключенная в его царстве теней, пребывающая в полном отчаянии Персефона. Все эти и множество других богов и полубогов суть плоды необузданной фантазии. Все они — не более чем выдумка. Выражаясь современным языком, Гомер и Гесиод на глазах просвещенных греков изобрели то, что сегодня называют мыльными операми: на Олимпе, на горе, где обитают боги, разыгрываются бесконечные интриги, трагедии и комедии, которым — как и в обычных мыльных операх — нет конца. Разница между людьми и богами, как мы слышим от находчивых поэтов, заключается лишь в том, что одни смертны, а другие — бессмертны.

Несмотря на это, Илиада и Одиссея, оба величайших произведения Гомера, стали источником вдохновения всех образованных греков. Дело в том, что за фасадом историй о любви, ненависти и измене скрывались глубокие истины, не говоря уже о красоте языка, великолепии напевных стихов и поэтическом воображении. Архимед, естественно, хорошо знал Одиссею и использовал один из ее очаровательных эпизодов для составления несравненной математической загадки.

После того как Одиссей и его спутники смогли миновать ужасы Сциллы и Харибды, приблизились они к хранимому Гелиосом, богом солнца, острову Сицилия, названному в поэме Тринакрией, будущей родине самого Архимеда. Сам Одиссей хотел проплыть мимо, но спутники уговорили его сделать остановку на райском острове, чтобы отдохнуть на нем несколько дней. Одиссей предупредил своих товарищей, чтобы они не ловили пасшихся на острове быков и коров, ибо то были священные животные, посвященные богу солнца Гелиосу. Однако, когда привезенные с собой запасы продовольствия подошли к концу, а погода не позволяла продолжить плавание, голодные спутники Одиссея пренебрегли его предостережением. Они поймали одну из коров и зарезали ее, чтобы прокормиться. Ничего хорошего из этого не вышло. Гелиос потребовал у верховного бога Зевса удовлетворения за святотатство. Едва Одиссей и его спутники покинули Сицилию, как на море разразился ужасный шторм. Зевс метнул в корабль молнию, и все члены команды, за исключением Одиссея, который не прикасался к мясу коровы Гелиоса и сумел привязать себя к мачте, пошли ко дну.

Архимед задал вопрос своему ученому другу: сколько, собственно говоря, коров и быков паслось тогда на благословенных лугах Сицилии?

В 1773 г. Готхольд Эфраим Лессинг, бывший тогда библиотекарем герцога Брауншвейгского в Вольфенбюттеле, нашел в рукописном отделе библиотеки копию письма, написанного Архимедом его другу и знакомому, александрийскому ученому Эратосфену. В письме содержалась записанная 44 двустишиями математическая загадка. В этом стихотворении Архимед задал все тот же вопрос: сколько скота было у бога Гелиоса на берегах Сицилии?

В качестве исходной информации Архимед сообщил Эратосфену соотношение между численностью белых, чёрных, рыжих и пёстрых животных, тщательно разделённых на коров и быков. Задача состояла из двух частей. Первая часть в сравнении со второй была довольно простой. Архимед мог предполагать, что его коллега Эратосфен вполне дорос до первой части задания. Для решения этой части задачи надо было владеть только четырьмя основными арифметическими действиями — но владеть безупречно, ибо вычисления были достаточно сложными. В случае, если Эратосфену удалось бы решить первую часть задачи, он бы узнал, что численность стада крупного рогатого скота Гелиоса была кратна 50 389 082 головам. Насколько велика общая численность, после решения первой части задачи оставалось неясным. При тех затруднениях, какие испытывали древние греки с названиями чисел, охватить такое большое число, как 50 389 082, было почти неразрешимой задачей. Вероятно, Архимед втайне радовался, представляя себе, как вымотается Эратосфен, решая первую часть присланной ему задачи.