Брак начертательной геометрии с коническими сечениями — рассечениями конуса, которые создают фигуры вроде круга, эллипса и параболы, — привел к рождению другой новой ветви математики — проективной геометрии. Математик и военный инженер Жерар Дезарг (1591–1661) из Лиона за свою жизнь опубликовал немного работ, однако он был в курсе математических событий, узнавая о них от физика и философа Марена Мерсенна, который вел обширную переписку с выдающимися учеными того времени — Галилеем, Декартом, Паскалем, Ферма и многими другими. В 1639 году Дезарг издал брошюру с забавным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью». Читать этот текст было очень тяжело, поэтому было напечатано только пятьдесят экземпляров, которые Дезарг раздал знакомым.

Основой начертательной геометрии был тот факт, что с точки зрения зрителя «идеальные» и «ухудшенные» фигуры кажутся одинаковыми. Распространение этого результата за пределы плоскости живописи означает, что исходное изображение может быть спроецировано на бесконечное число плоскостей и все еще казаться неподвижному наблюдателю неизменным. Дезарг изучал, какие свойства фигур оставались неизменными, или инвариантными, при таких проективных преобразованиях. Одним из его достижений было объединение конических сечений — он рассматривал их как проективные преобразования круга, движущегося по световому конусу. Наклонный круг действительно становился эллипсом.

Красота этого подхода заключается в том, что, сформулировав теорему для одного конического сечения, скажем для круга, можно было просто выполнить соответственную проекцию и перетолковать теорему. Однако достижением Дезарга было скорее развитие нового метода, чем создание новаторских теорем. В то же время алгебраическая геометрия Декарта оказалась таким мощным инструментом, что сам Декарт высказал предположение: не исключено, работа Дезарга станет несколько более ясной, если ее перевести на язык алгебры. Позднее Декарт признал, что, возможно, это была придирка к стилю, а не к содержанию. Однако математика того времени двигалась совсем в ином направлении, и работа Дезарга затерялась. И его проективная геометрия, и начертательная геометрия Дюрера возродились позднее, в начале девятнадцатого столетия, уже на надежной математической основе.

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как природными, так и созданными руками человека: в середине четырнадцатого столетия Черная смерть выкосила фактически половину населения, не обращая внимания на социальный статус и богатство, закончилась Столетняя война между Англией и Францией, вымотав население этих двух стран и физически, и морально. В 1453 году под ударами оттоманских турок пал Константинополь, что стало концом Византийской империи. Одновременно мы можем увидеть расцвет итальянского Ренессанса и гуманистических традиций, сочетание почтения к античности со вновь открытой верой в личную свободу и образование. Изобретение печати и гравюры означало, что новые идеи могли распространяться шире, чем было возможно до этого. Европа с интересом смотрела на остальной мир, увеличивалось количество заморских путешествий, открытий, завоеваний, расширялась торговля. Но навигация требовала точных карт морей и неба, торговля нуждалась в эффективной бухгалтерии — в то время все это было практически не развито. Алгебра, тригонометрия, начертательная геометрия, логарифмы и исчисление — все это либо появилось впервые, либо активно развивалось. Прежде чем повести рассказ об этих достижениях, стоит сказать о возрастающем в то время статусе математики.

Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в монастырях, она входила в квадривиум, состоящий из арифметики, геометрии, гармонии и астрономии. Но рабское почтение к древним текстам и тесные границы требований к математике духовных властей ограничивало то, что можно было достичь в рамках этой схоластической традиции. Термин «mathematicus» использовался для того, чтобы обозначить или математика, или астролога (Кеплер жаловался, что получал гораздо больший доход от вычисления астрологических диаграмм, чем от своей работы астронома). Хотя в то время не было пока такого явления, как профессиональный математик, экономический рост в Европе создал потребность в большом количестве людей, обученных вычислениям, которые могли заниматься финансовыми и коммерческими расчетами. Эти должности занимали люди не из университетов, а из гильдий и ремесленных цехов. В эпоху Ренессанса сыновья торговцев получали образование, изучая элементарную математику в школах или цехах. Именно там стало очень популярным использование индо-арабских цифр.

Новые числа пришли в Европу в двенадцатом веке вместе с переводами на латынь из арабских текстов. В 1202 году увидела свет «Книга аббака» (Liber abbaci) Леонардо Пизанского (ок. 1170 — ок. 1250), известного также как Фибоначчи. Теперь эту книгу считают поворотной вехой в истории математики, но в то время она была намного менее популярной, чем достаточно простая книга «Алгоритм» математика и астронома Джона Холивуда (Халифакса) (ок. 1195 — ок. 1256), более известного как Сакробоско. Название Liber abbaci, к сожалению, скорее вводит в заблуждение. Термин abbacus, с двумя b, относится к методам вычисления, в которых используются новые цифры, и не имеет никакого отношения к вычислительному устройству, известному как «абака». Действительно, существовала конкуренция между сторонниками двух форм вычисления, и лучше использовать термин «алгоритмист» для того, кто использовал технику abbacus, и «мастер абаки» для обозначения человека, который все еще предпочитал абаку или счетную доску. Математика, опытного в использовании техники abbacus, называли maestro d’abbaco — «мастером аббака».

В «Книге аббака» Фибоначчи отвел значительное место коммерческой математике. В международной торговле коммерсантам приходилось иметь дело со множеством различных систем мер и весов, осуществлять сделки в различных валютах, и им нужны были эффективные методы вычислений, чтобы избежать серьезных ошибок. В 1494 году Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», ныне известный как первая работа о методах бухгалтерии, например о двойной бухгалтерии[9], но это также был свод полезных математических методов того периода, включая приемы из области арифметики, алгебры и геометрии. За шестнадцать лет до этого, в 1478 году, в Тревизо был анонимно напечатан самый ранний учебник по арифметике. В то время нотация была все еще неустойчивой, дроби по-прежнему записывались в шестидесятеричной нотации или в виде дробных единиц. В шестнадцатом веке стали популярны десятичные дроби, хотя шестидесятеричная запись сохранилась в астрономических вычислениях, а Джон Непер[10] сделал популярной десятичную точку.