6.1222. Это проливает свет на вопрос, почему логические суждения нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть опытом. Логическое суждение не просто не опровергается никаким опытом, но и не подтверждается каким-либо опытом.

6.1223. Теперь становится ясно, почему зачастую кажется, что от нас требуют «постулировать» истины логики. Причина в том, что мы можем постулировать их ровно настолько, насколько можем постулировать корректную запись.

6.1224. Также становится ясно, почему логику называют теорией форм и вывода.

6.123. Очевидно, что законы логики не подпадают под действие законов логики.

(Не существует, как полагал Рассел, особого закона противоречия для каждого «типа»; одного закона достаточно, поскольку он не применим к самому себе.)

6.1231. Признаком логического суждения не служит общая значимость.

Быть общим – не более чем случайное свойство всех предметов. Необобщенное суждение также может быть тавтологичным, как и обобщенное.

6.1232. Общая значимость логики может быть названа существенной, в противовес случайной общей значимости таких суждений, как «Все люди смертны». Суждения, подобные расселовской аксиоме сводимости, не являются логическими суждениями, и это объясняет наше ощущение, что, даже будь они истинными, их истинность окажется результатом удачного совпадения.

6.1233. Возможно вообразить мир, в котором аксиома сводимости не имеет значения. Ясно, однако, что логика никак не связана с вопросом, похож ли реальный мир на этот или нет.

6.124. Логические суждения описывают строительные леса мира, точнее, представляют их. Они ни о чем не рассказывают. Они предполагают, что имена имеют значения, а элементарные суждения – смысл; и что эти имена и суждения таким образом связаны с миром. Ясно, что о мире должны сообщать некие определенные комбинации символов, которым присущ конкретный характер, которые являются тавтологией. Это имеет решающее значение. Мы сказали, что в используемых нами символах есть и произвольность, и определенность. В логике выражается лишь последняя; но это означает, что логика – вовсе не та область, где мы выражаем все, что захотим, при помощи знаков, а скорее область, в которой природа абсолютно необходимых знаков говорит сама за себя. Если известен логический синтаксис любого знакового языка, уже заданы все логические суждения.

6.125. Возможно – действительно возможно, даже согласно прежним концепциям логики, – задать априори описание всех «истинных» логических суждений.

6.1251. Отсюда следует, что в логике не бывает сюрпризов.

6.126. Можно вычислить, относится ли суждение к логике, исчислив логические свойства символа.

Именно это мы делаем, когда «доказываем» логическое суждение. Ибо, не терзаясь смыслом и значением, мы конструируем логическое суждение из прочих, используя лишь правила комбинирования знаков. Доказательство логического суждения состоит в следующем: мы порождаем эти суждения из прочих логических суждений, последовательно применяя конкретные действия, всегда порождающие новые тавтологии из первоначальных. (На деле лишь тавтологии следуют из тавтологий.)

Конечно, способ, показывающий, что логические суждения суть тавтологии, несущественен для логики, хотя бы потому, что суждения, с которых начинается доказательство, должны неоспоримо проявить себя как тавтологии.

6.1261. В логике процесс и результат равнозначны. (Отсюда отсутствие сюрпризов.)

6.1262. Доказательство в логике – лишь механический процесс, призванный распознавать тавтологии в сложных случаях.

6.1263. На самом деле было бы слишком замечательно, если осмысленное суждение можно было бы доказать логически на основе других, то есть так же, как какое-либо логическое суждение. Априори ясно, что логическое доказательство осмысленного суждения и доказательство в логике – два отличных действия.

6.1264. Осмысленное суждение сообщает нечто, а его доказательство показывает, что все именно так и есть. А в логике всякое суждение есть определенная форма доказательства. Всякое суждение в логике является modus ponens[5], выраженным в знаке. (Выразить modus ponens посредством суждения невозможно.)

6.1265. Всегда возможно создать логику, в которой каждое суждение будет собственным доказательством.

6.127. Все логические суждения равноправны; среди них нет таких, которые являются существенно исходными и выводимыми из них. Всякая тавтология показывает, что она есть тавтология.

6.1271. Ясно, что число «элементарных логических суждений» произвольно, поскольку логика выводится из единственного элементарного суждения, например посредством получения логического произведения элементарных суждений Фреге. (Фреге мог бы сказать, что у нас нет самоочевидных элементарных суждений. Но поразительно, что столь строгий мыслитель, как Фреге, использовал степень очевидности в качестве критерия логического суждения.)

6.13. Логика не учение, а зеркальное отражение мира. Логика трансцендентальна.

6.2. Математика есть метод логики. Суждения математики – уравнения, которые являются псевдосуждениями.

6.21. Математическое суждение не выражает мысль.

6.211. На самом деле в реальной жизни математическое суждение никогда не применяется. Мы используем математические суждения лишь для того, чтобы выводить из суждений, к математике не относящихся, другие, которые также не принадлежат математике. (В философии вопрос «Для чего именно мы используем это слово или суждение?» снова и снова приводит к ценным прозрениям.)

6.22. Логика мира, проявленная в тавтологии логических суждений, в математике показана уравнениями.

6.23. Если два выражения комбинируются посредством знака равенства, это означает, что они взаимозаменяемы. То, что это так, должно быть видно из самих этих выражений.

Когда выражения взаимозаменяемы, это отражается в их логической форме.

6.231. Свойством утверждения является то, что его можно представить как двойное отрицание. Свойство выражения «1 + 1 + + 1 + 1» – что его можно записать как «(1 + 1) + (1 + 1)».

6.232. Фреге говорит, что два выражения имеют одинаковое значение, но разный смысл.

Существенно для уравнения то, что оно не необходимо для показа одинакового значения двух выражений, соединенных знаком равенства, ведь равнозначность уже следует из самих выражений.

6.2321. А возможность доказательства математических суждений означает лишь, что их правильность проявляется без необходимости сопоставления того, что они выражают, с фактами.

6.2322. Невозможно утверждать равнозначность двух выражений. Чтобы иметь возможность утверждать что-либо, не зная его значения, я должен знать это значение, а я не могу знать значения, не ведая, означают ли они одно и то же или различное.

6.2323. Уравнение просто характеризует точку зрения, с которой я взираю на два выражения; оно характеризует сходство их значений.