на научную статью: ссылки на авторитеты, цитаты и т. п. А научная статья должна заканчиваться указанием источников.

Ссылки могут показаться излишними, но традиция требует, поэтому в соответствующих местах текста помещены скобки, содержащие номера источников, которыми пользовался автор:

1. А. С. Пушкин. Собрание сочинений.

2. А. Эйнштейн. Полное собрание научных трудов.

3. Сочинения Козьмы Пруткова.

Итак: «Принимаясь за дело, соберись с духом» (3), ведь машин-призраков не так мало!

АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА

МЫСЛЬ — ФЕТИШ

Гомер, воспевший подвиги Ахиллеса и других героев Троянской войны, вряд ли мог предположить, что имя Ахиллеса войдет в науку. Но для эллинов не существовало границ между поэзией и наукой. И то, и другое относилось к духовной сфере. Правда, поэзия, философия и геометрия почитались высшей сферой духа, а механику в Афинах считали низшей наукой. Платон называл ее пошлым ремеслом. Так сложилось духовное кредо эллинов — они выдвигали работу мысли на первый план перед всякой другой. Гиперболизация возможностей умозаключений, пренебрежение практической деятельностью, непонимание необходимости проверки рассуждений опытом привели в конце концов к упадку эллинской культуры. Но вначале способствовали ее расцвету и распространению.

Эллинская культура вышла далеко за пределы Греции, охватив все Средиземноморье, и даже выплеснулась за его границы. На юге Италии издавна существовал город Элея, еще в конце VI века до нашей эры известный своей философской школой. Имя основателя школы не сохранилось. Некоторые связывают ее возникновение с поэтом и философом Ксенофаном, прославившимся философской поэмой «О природе». В ней он осмеял многобожие и склонность греческой религии наделять богов обликом людей. Ксенофан, конечно, не был атеистом. Он, как и его современники, слишком мало знал окружающий мир, чтобы обойтись без мысли о высшем существе, создавшем этот мир и управляющем им. Ксенофан развивал весьма неясные представления об едином, неподвижном, вечном, однородном, имеющем форму шара сущем, которое есть и природа и бог и всем своим существом способно мыслить, видеть, слышать.

Парменид, философ и видный политический деятель Элей, воспринял учение Ксенофана и по традиции изложил свои мысли в поэме, которую тоже назвал «О природе». Он не уделял большого внимания богу, но считал, как и Ксенофан, все сущее единым, неподвижным, неизменным, непрерывным, вечным и имеющим форму шара.

Парменид мог бы избрать в качестве образца для подражания диалектическое учение Гераклита Эфесского и продвинуться ближе к материализму. Ведь уже в то время Гераклит провидел, что мир состоит из атомов и пустоты и что диалектика развития Вселенной скрыта в движении атомов. Но Парменид предпочел бороться с идеями Гераклита. Он противопоставил мышление чувственному восприятию и объявил мышление единственным источником истины. Он отождествил мысль и бытие. Из этого вытекало, что небытие невозможно, ибо небытие немыслимо, а значит, невозможна и пустота. Но без пустоты нет движения, ибо тела не могут двигаться сквозь тела. Значит, нет движения. Так считал Парменид и был уверен, что его рассуждения опровергают учение Гераклита о движении. У него были верные ученики и последователи — иначе его учение не осталось бы в истории. Но были и несогласные с ним.

Чтобы убедить несогласных, ученик Парменида 3eнон разработал 45 доказательств в защиту своего учителя и его учения. До нас дошло девять из них. В том числе рассуждение о невозможности движения стрелы, рассуждение о быстроногом Ахиллесе, не способном догнать черепаху, и еще три, посвященных доказательству невозможности всякого движения. Физики признают значение аргументов Зенона Элейского для процесса выработки правильных понятий — ведь вопрос не в том, существует ли движение, ибо это несомненно, а в том, как его выразить в понятиях, как найти связь между абстрактными понятиями и конкретными представ-представлениямии предметами. И в конечном счете — между мыслью и реальностью, объективностью и ее субъективным восприятием…

Кроме проблемы движения, в науке о природе немало подобных стержневых проблем: определение понятий теплоты, энергии, материи, времени, пространства и многого другого, что составляет плоть и кровь Вселенной.

Бескрылый символ быстроты

Но вернемся к проблеме движения — на ее примере рассмотрим драматическую напряженность отношений между конкретными предметами и абстрактными понятиями. Существование движения — объективный факт, не требующий логических доказательств. Но процесс движения в течение многих веков оставался слишком сложным для понимания, как мы теперь говорим: он внутренне противоречив. Когда Зенон доказывал неподвижность стрелы, утверждая, что она, занимая определенное место, не может занять другое, а значит, не может двигаться, он, по существу, проводил мысленный эксперимент. Отваживался доказывать — причем оперируя лишь абстрактными рассуждениями — неподвижность предмета, слывшего символом быстроты! Настаивал на этом, настаивал вопреки очевидности, наперекор своему опыту и безусловному опыту оппонентов… И никто не мог опровергнуть его мысленный опыт, разрушить логику рассуждений. Да, логику, хотя логика как наука возникла много позже. Но даже создатель логики Аристотель не сумел опровергнуть доводы Зенона.

Не мог Аристотель объяснить и того, как Ахиллес обгонит черепаху, если он, в соответствии с рассуждениями Зенона, в каждый момент обречен видеть ее впереди себя. Хотя бы немного, но все же впереди.

Вероятно, экзотические мысленные упражнения Зенона не дожили бы до наших дней, если бы в них не таился зародыш, развившийся со временем в мощнейшую отрасль практической математики.

Сделаем еще шаг вперед. Сродни трудностям Ахиллеса в его погоне за черепахой и затруднения, возникающие при попытке объяснить, что такое куча. Каждому ясно, что куча — это множество зерен. Одно зерно — не куча. И два зерна не куча. И три. И десять… Когда же начинается куча? Когда «не куча» переходит в «кучу»? Может быть, когда в ней сто зерен? Попробуйте сказать, что это — уже куча. Сразу следует вопрос: а 99 зерен? И вам придется объяснить, как одно зерно, которое «не куча», добавленное к «не куче», способно превратить все это в кучу… Ни древние, ни средневековые мыслители не знали, как бороться с подобными противоречиями.

Теперь мы понимаем, что трудности в случае Ахиллеса или стрелы несравненно более серьезны, чем затруднения с проблемой кучи. Здесь есть хотя бы за что «зацепиться». Ведь любая куча содержит конечное количество объектов — зерен, кирпичей, монет… И дробить их на более мелкие части, как дробил Зенон длину пробега, уже нельзя. Тут есть предел, который ограничивает задачу, сообщает ей определенность, разумную ограниченность.

В случае с Ахиллесом все много сложнее. Конечный отрезок пути можно, по крайней мере, в принципе разделить на бесконечное число частей, если раз за разом делить его пополам.

Точно так же можно разделить на бесконечное число все более мелких частей любой конечный интервал