Это знание связано с теми предметами, с которыми детям нравится играть самостоятельно, без участия взрослых, и это могут быть любые предметы, которые попадают к ним в руки. Иными словами, дети усваивают эти принципы благодаря той волшебной деятельности, которую мы называем игрой.

Давайте подумаем, что необходимо для того, чтобы сосчитать набор предметов. Если бы мы пересчитывали составляющие его единицы больше чем по одному разу, мы получили бы неверный ответ. Но когда маленькие дети об этом узнают? Это – принцип однозначного соответствия, и профессор Гельман обнаружила, что дети начинают соотносить с одним предметом только один числовой «ярлычок» – даже если пока не умеют правильно считать – к тому моменту, как им исполняется 2,5 года. Если показать ребенку набор из четырех предметов и попросить сосчитать их, ребенок может сказать «один, два, четыре, шесть», называя каждый предмет только одним числом (пусть даже неправильно).

Вот это да! Ребенок каким-то образом сообразил, что каждый из предметов пересчитывается только однажды.

Опять же, вне зависимости от того, могут ли дети перечислить числа в правильном порядке, они, похоже, понимают, что стабильный порядок действительно существует. Иными словами, пересчитывая набор предметов, не следует говорить один раз «один, два, три», а другой раз – «два, один, три».

Попросите двухлетнего ребенка пересчитать набор предметов, и вас удивит то, что он сделает. Он определенно знает, что нужно использовать названия чисел, – то есть он не станет отвечать вам, например, словами «синий, красный, зеленый…». Зато может использовать названия чисел не в том порядке, в каком вы ожидаете.

Он может сказать «один, два, три, четыре, семь». Однако когда вы попросите пересчитать два различных набора предметов, ребенок вполне может назвать те же числа (свой личный числовой ряд) в том же порядке. Это тоже весьма впечатляет, поскольку никто нарочно не учит детей этому принципу; они выводят его самостоятельно, наблюдая, как люди считают, и считая самостоятельно.

Обнаружение скрытых навыков

Принципы однозначного соответствия и неизменного порядка

Возраст: 2–4 года

Научился ли ваш ребенок использовать принципы однозначного соответствия и неизменного порядка? Соберите разные предметы, чтобы получилось три небольших набора по 3–4 предмета в каждом. Попросите ребенка сосчитать предметы в одном наборе и проверьте, называет ли он каждый предмет только одним числом, таким образом используя принцип однозначного соответствия. Если он этого пока не делает, попробуйте поставить этот опыт снова через несколько месяцев. Было бы здорово попробовать это упражнение с детьми разных возрастов, чтобы увидеть, какая разница проявляется в поведении ребенка через год или два. А также послушайте, как ваш ребенок считает предметы, чтобы выяснить, использует ли он собственный числовой ряд каждый раз в одном и том же порядке, соблюдая таким образом принцип неизменного порядка.

Как только дети усвоят принцип неизменного порядка, они готовы использовать важнейший количественный принцип – представление о том, что последнее число при счете обозначает собою количественный размер всего набора. Что это означает? Если я пересчитывала чашки и насчитала три штуки, последнее произнесенное мною число – «три» – представляет количество чашек в этом наборе предметов. Очень забавно наблюдать, как дети это делают, потому что, когда они добираются до конца подсчета, они часто поднимают глаза и с гордостью громко восклицают: «Шесть!» И совершенно не важно, что они по-прежнему могут использовать свой личный числовой ряд. Вы поймете, что они усвоили этот принцип, когда они скажут вам, что последнее произнесенное ими число – это «сколько всего» предметов.

Персонаж Каунт из «Улицы Сезам» – хорошая иллюстрация к нашему следующему принципу, принципу абстракции. Все, что угодно, можно посчитать – буквально все. Мы можем сосчитать туфли, машины, проезжающие мимо нашего окна, и даже сколько раз после обеда нам звонили менеджеры из телемагазина. Числа – это универсалии, которые применимы где угодно и к чему угодно. И, к счастью, эти принципы действуют во всем мире, пусть даже слова, называющие числа, во всех языках разные.

Пиаже рассказывает нам об одном своем друге, который стал математиком и вспоминал, как совершил свое величайшее открытие в детстве. Он играл с камешками и расположил их по кругу. Начал считать их с одного камешка и дошел до числа 6. Затем он выбрал другой камешек в качестве точки отсчета – и все равно получил ответ 6. Потрясающе! Оказалось, не имеет значения, с какого камушка начинать отсчет; всегда получался один и тот же ответ. Друг Пиаже открыл принцип иррелевантности порядка совершенно самостоятельно, как это делают все наши дети. Этот принцип говорит о том, что мы можем не только сосчитать все, что захотим, но и сосчитать предметы в любом порядке, начиная с любого из них.

Обнаружение скрытых навыков

Количественный принцип, принцип абстракции и принцип иррелевантности порядка

Возраст: 2–4 года

Вы можете выяснить, пользуется ли ваш ребенок основными принципами счета, дав ему набор предметов. Определите, например, использует ли ваш ребенок количественный принцип. Когда вы спрашиваете: «Сколько здесь собачек (птичек, игрушек…)?», понимает ли ваш ребенок, что ответом является самое большое число, которое он назвал при счете? И готов ли он посчитать что угодно, демонстрируя вам, что он следует принципу абстракции? Попросите ребенка сосчитать предметы, которые можно взять в руку, а затем попросите его сосчитать число облачков в небе или сколько раз вы на этой неделе звонили бабушке. Станет ли он возражать? Или он готов посчитать все, что вы попросите, даже если речь идет о предметах далеких или неосязаемых?

Наконец, проверьте, применяет ли ваш ребенок принцип иррелевантности порядка. Укажите на один предмет в наборе из 5 предметов и попросите его сосчитать, сколько их всего. А затем попросите проделать эту операцию вновь, указав в качестве начала отсчета другой предмет. Приходит ли ребенок оба раза к одному и тому же результату? С готовностью ли он это делает? Спросите ребенка, как ему кажется, почему всегда получается одно и то же число. Не ждите, что он обязательно даст осмысленный ответ, но выяснять, какого рода логическое обоснование ребенок может выдвинуть, интересно и забавно.

К возрасту 3 лет большинство детей оперируют с числами соответственно этим пяти принципам – бóльшую часть времени. Эти принципы формируются в естественном ходе развития и в настоящее время включены в самые ранние математические программы и оценки. Следует ли нам бежать и закупать вспомогательные материалы, чтобы обучить своих детей принципам счета? Нет!