Спустя несколько лет о работе Уинфри стало известно молодому японскому физику по имени Йосики Курамото. Его также увлекал феномен самоорганизации во времени, и он хотел найти способ проникнуть в математическую суть этого феномена. В 1975 г. он сосредоточился на изучении более простой и абстрактной версии модели Уинфри и в конечном счете ему удалось показать, как можно решить эту задачу.

Это было поистине выдающееся достижение. Речь шла о системе бесконечно большого числа дифференциальных уравнений, причем все эти дифференциальные уравнения были нелинейными и связаны друг с другом. Такие вещи практически не поддаются решению. Немногие исключения из этого правила подобны бриллиантам. Такое сравнение представляется вполне оправданным ввиду математической красоты этих исключений, а также благодаря свету, который они проливают на внутренние аспекты нелинейности. В данном случае анализ, выполненный Курамото, выявил сущность групповой синхронизации.

На первый взгляд не так-то просто понять, что же такого особенного в структуре модели, предложенной Курамото. Как и в работе Винера, модель Курамото описывает огромную популяцию осцилляторов, характеризующуюся колоколообразной кривой распределения естественных частот; как и в модели Уинфри, каждый осциллятор одинаково взаимодействует со всеми остальными осцилляторами[43]. Важнейшая инновация, предложенная Курамото, заключается в замене функций влияния и чувствительности на особый вид взаимодействия – очень симметричное правило, которое воплощает и уточняет концепцию подтягивания частот, предложенную Уинфри.

Природу этого взаимодействия легче всего понять для популяции, состоящей лишь из двух осцилляторов. Вообразите их как друзей, бегущих вместе по дорожке стадиона. Поскольку эти осцилляторы – друзья, они хотят разговаривать во время бега, поэтому каждый из них несколько корректирует предпочтительную для себя скорость бега. Правило Курамото заключается в том, что быстрый бегун несколько замедляется, а медленный бегун ускоряет свой бег в такой же степени. (Если быть более точным, величина этой коррекции является функцией синуса угла между ними, умноженного на число, называемое силой связи; это число определяет максимально возможную коррекцию.) Это корректирующее действие ведет к синхронизации осцилляторов. Однако, если разность их естественных скоростей оказывается слишком большой по сравнению с силой связи, они не смогут компенсировать разницу в своих физических способностях. Более быстрый бегун постепенно оторвется от своего более медленного товарища; в этом случае им обоим следовало бы подумать о выборе более подходящего для себя партнера по бегу трусцой. Математическая привлекательность этого правила заключается в его симметричности. В отличие от первоначальных формул Уинфри, в этом случае на беговой дорожке нет каких-либо особых мест (когда разные места соответствуют разным характерным событиям в биологическом цикле активности). Для Курамото все места неразличимы между собой. Нет никаких вех. По сути, бегуны не могут узнать, в каком именно месте они находятся, поэтому они бегут молча – никто ничего не выкрикивает, никто ни к кому не прислушивается, – но при этом они внимательно присматриваются друг к другу. Во время бега они вносят соответствующие коррективы в свою скорость, используя формулу, которая зависит лишь от расстояния между ними, а не от места на дорожке, в котором они оказались.

А теперь представьте себе гораздо большую совокупность осцилляторов и, как и ранее, представьте ее в виде клуба бегунов, члены которого весьма различаются между собой по степени физической подготовки. Правило взаимодействия заключается в том, что каждый бегун смотрит на всех остальных бегунов, подсчитывает предположительную коррекцию своей скорости относительно каждого из остальных бегунов и усредняет вычисленные таким образом величины, чтобы получить фактическую величину коррекции. Допустим, например, что в какой-то момент эти бегуны образовали достаточно плотную группу. Правило Курамото говорит лидеру забега о том, что он должен замедлить свой бег относительно предпочтительной для себя скорости, что представляется вполне благоразумным, поскольку в данный момент он опережает всех остальных бегунов. Бегуну, находящемуся в середине этой группы, поступают противоречивые сообщения: некоторые из них рекомендуют ему ускорить свой бег, тогда как согласно другим ему следовало бы замедлиться. Бегун, замыкающий эту группу, получает от своих товарищей призывы ускорить бег.

Все эти корректировки происходят раз за разом, осциллятор за осциллятором. Чтобы сделать задачу такой самокоррекции более интересной, предположим, что участники этого забега договорились начать его с произвольных мест на дорожке. Иными словами, поначалу все бегуны распределены по всей длине дорожки совершенно случайным образом.

Даже если группа сформируется, вовсе не обязательно, что самые сильные бегуны окажутся в ее главе, то есть возможна любая расстановка бегунов в группе. В течение всего времени группа будет продолжать переформировываться и, по мере того как бегуны будут занимать в ней места согласно своим физическим возможностям, будут меняться лидеры группы.

Совсем не очевидно, во что все это выльется на достаточно продолжительном отрезке времени. Самые сильные бегуны могут значительно оторваться вперед от основной группы, тогда как самые слабые бегуны будут плестись далеко в хвосте. Более того, может даже не сформироваться основная группа как таковая. Разброс скоростей бегунов может оказаться столь значительным, что бегуны распределятся по всей длине дорожки. В таком случае все они будут принимать от своих партнеров по забегу столь противоречивые сообщения («беги быстрее», «беги медленнее»), что корректировки скорости вообще прекратятся и каждый будет бежать с наиболее предпочтительной для себя скоростью.

Анализируя столь запутанную ситуацию, Курамото посчитал целесообразным количественно охарактеризовать степень синхронизации с помощью одного числа, которое он назвал параметром порядка.

Интуитивно, когда участники забега бегут плечом к плечу, это представляет собой более тесную форму синхронизма, чем в случае, когда они находятся на значительном удалении друг от друга, и поэтому заслуживают более высокого «балла за синхронизм», то есть должны характеризоваться более высоким значением параметра порядка. Числовое значение параметра порядка всегда находится в диапазоне от 0 до 1 и вычисляется с помощью математической формулы, которая зависит от относительного положения каждого из бегунов. В одном крайнем случае, когда все бегуны пребывают в идеальном синхронизме, то есть бегут «в унисон», параметр порядка равняется 1. В другом крайнем случае, когда все бегуны распределены случайным образом по всей длине беговой дорожки, параметр порядка равняется 0.