Элементы ряда поочередно оказываются то действительными, то мнимыми. Сгруппируем эти две категории элементов:

Оказывается, что выражение между первыми двумя скобками представляет собой в точности cos(π), то есть –1, а выражение между вторыми скобками равно sin(π), то есть 0. Таким образом,

Теперь мы понимаем, как возникла чудесная формула Эйлера.

«В бесконечность и дальше!» – таков был лозунг Базза Лайтера, бесстрашного космического рейнджера из мультфильма «История игрушек». Эта фраза вызывает смех, ибо абсурдна: куда уж дальше бесконечности? Если что-то бесконечно велико, то может ли существовать что-то большее? Такие вопросы кажутся безумными, и математики до поры до времени предпочитали их не задавать. Но в конце XIX века Георг Кантор[79] набрался смелости и стал искать ответ[80]. Интуиция подсказывает, что нет ничего больше бесконечности.

Оказывается, здесь интуиция нас подводит.

Множества

В математике все сложное объяснимо через простое. Если быть достаточно скрупулезным, то комплексные числа можно определить с помощью действительных, действительные – с помощью рациональных, рациональные – с помощью целых и т. д. Все здание математики покоится на фундаментальной концепции множества.

Множество – это просто набор объектов. Например, {1, 2, 5} – множество, состоящее из трех чисел[81]. Оно совпадает с множеством {1, 5, 2}, потому что порядок чисел в данном случае не важен. Кроме того, объект либо входит, либо не входит во множество. Входить во множество два раза нельзя. Множество {1, 1, 2, 5} совпадает с множеством {1, 2, 5}, второе появление числа 1 избыточно.

Если элемент входит в некоторое множество, математики используют значок ∈. Например, выражение 2∈ {1, 2, 5} следует понимать так: «Число 2 входит во множество, состоящие из чисел 1, 2, 5». Перечеркнутый значок показывает, что элемент не входит во множество; например: 3∉ {1, 2, 5}.

Число элементов, входящих во множество A, мы обозначаем |A|. Например, |{1, 2, 5}| = 3. Число |A| называют мощностью множества A.

Мощность такого рода множеств, как {1, 2, 5}, конечна. Однако мощность множества ℤ (все целые числа) бесконечна, как и мощность множества ℝ (все действительные числа).

Как сравнить размеры двух множеств? Простейший способ – пересчитать их элементы. Например, и у множества {1, 2, 5}, и у множества {3, 8, 11} мощность равна 3, стало быть, они равновелики.

Другой способ установить, что мощность множеств совпадает, – построить взаимно однозначное соответствие между их элементами[82]. Иными словами, нам не обязательно перебирать все элементы, достаточно ввести правило, по которому мы сопоставляем элемент из одного множества с каким-либо элементом из второго. Вот взаимно однозначное соответствие между множествами {1, 2, 5} и {3, 8, 11}:

Впрочем, когда элементов мало, поиски взаимно однозначного соответствия обременительны и не приносят большой пользы.

Разберем более запутанный пример. Представьте себе, что в некоторый клуб входит семь человек (для удобства будем называть их по номерам: 1, 2, 3, …, 7).

Клубу разрешили послать трех членов на ежегодную национальную конференцию. Есть много способов выбрать трех человек из семи. Пусть A – множество всех возможных групп по три человека:

Здесь мы под «123» подразумеваем, что на конференцию поедут члены клуба под номерами 1, 2 и 3.

На следующий год членов клуба оповещают, что они могут отправить на конференцию четырех человек. Пусть B – множество всех групп по четыре человека:

Итак, A – множество групп по три человека, B – множество групп по четыре человека.

Совпадают ли их мощности?

Если внимательно пересчитать все элементы, выяснится, что мощности этих множеств совпадают. Но выписывать все возможности одну за одной – нудная и не застрахованная от ошибок работа[83].

Гораздо проще показать, что эти множества равновелики, если найти взаимно однозначное соответствие между их элементами. В голову приходит следующая мысль. Допустим, члены клуба решают, что на вторую конференцию больше не поедут те, кто побывал там в первый год. Тогда каждую группу по три человека из первого множества можно сопоставить с другой группой по четыре человека из второго множества. Например, если 1, 4 и 5 поехали на конференцию в первый год, то на следующий год поедут 2, 3, 6 и 7. Или: 145 ↔ 2367.

Выпишем все возможности:

Это взаимно однозначное соответствие показывает, что A и B равновелики.

Вы можете выписать все элементы множеств полностью и убедиться, что их количество совпадает (хотя взаимно однозначное соответствие избавляет нас от этой нудной работы). Перечень всех элементов вы найдете в конце главы.