Позицию Маха можно связать с эпистемологической деятельностью, аналогичной для некоторых членов современного научного сообщества, которые утверждают, что наука должна ограничиваться прогнозами о результатах экспериментов и что присутствие или отсутствие в основе реальности не является значимым вопросом. Так, когда человек поражается особенностям квантовой механики и ее кажущимся парадоксам, обычно ему отвечают, что образ, который лежит в основе теории, имеет наименьшее значение: все, что делает квантовая механика,— это предсказывает, что при некотором эксперименте будет получен определенный результат. Объекты теории (электроны, поля, фотоны) — математические уловки для нахождения правильного ответа, и их существование — вопрос веры.

Взгляды Больцмана несущественно отличались от взглядов Маха по этому вопросу. Несмотря на то что обычно его считают реалистом, он не возражал против того, что его атомы — это всего-навсего математическое средство, если только соперник признает, что речь идет о математическом средстве, подходящем для получения правильного ответа. Хотя эта уступка скорее объясняется его последней попыткой выиграть у сторонников Маха, чем его собственными взглядами на атомы.

Конфликт Больцмана с энергетиками заключался в том, что они, по его мнению, не способствовали "правильному" развитию науки: своими предположениями они не могли добиться более глубоких объяснений с меньшим количеством допущений, чем те, что проистекали из атомной гипотезы. Как утверждал он сам, энергетики даже не были способны описать динамику материальной точки, не говоря уже об огромном количестве результатов (в электромагнетизме и термодинамике), которые полностью ускользали от них. Однако их совсем не разочаровывали эти неудачи, скорее наоборот, они без смущения объявляли все остальное научное сообщество (включая Больцмана) устаревшим. Действительно, Мах обычно говорил о Больцмане как о "последнем столпе атомизма".

В конце 1890-х годов положение стало невыносимым для Больцмана, который чувствовал, что назревает битва, в которой он вполне мог понести поражение. Он опасался, что то, что он сам называл "варварством энергетизма" разрушит эффективность работы его жизни и подавит всю атомную теорию на долгое время. Так, в 1895 году Больцман попытался положить конец энергетике, участвуя в дебатах в Любеке, организации которых он сам способствовал. Оствальд представил свои идеи по теме в статье под названием "Преодоление материализма" и столкнулся с яростной атакой со стороны своего друга и коллеги. В этот момент возник жаркий спор между Оствальдом и Гельмом, с одной стороны, и Больцманом и Феликсом Клейном (1849-1925), с другой. Об этой дискуссии потом рассказывал немецкий физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951):

"Защитником энергетики был Гельм; за ним стоял Оствальд, а за ними обоими — философия Эрнста Маха (который не присутствовал). Оппонентом был Больцман, а его секундантом — Феликс Клейн. Битва между Больцманом и Оствальдом напоминала дуэль быка и ловкого тореадора. Однако на этот раз бык победил тореадора, несмотря на всю ловкость последнего. Аргументы Больцмана попали в цель. Мы все, молодые математики, были на стороне Больцмана; для нас было ясно, что невозможно, чтобы с помощью только одного уравнения для энергии можно было вывести уравнения движения или даже материальной точки, не говоря уже о системе с произвольным числом степеней свободы.

В защиту Оствальда я должен привести комментарий из его книги "Великие люди", в которой он называет Больцмана "человеком, чья наука превзошла нас по проницательности и ясности".

Стоит отметить, что Больцман, несмотря на его дискуссии с энергетиками, продолжал поддерживать связь со многими из них. Он дружил с Оствальдом, пригласившим его занять кафедру в Лейпциге, и у него были теплые отношения с Махом. Последний послал ему экземпляр своей последней книги 1905 года, на что Больцман ответил благодарственным письмом. Что касается студентов Венского университета, источники того времени уверяют, что те не были разделены на два лагеря, а почитали обоих учителей одинаково, считая себя одновременно последователями Маха и Больцмана.

СПОР С ЦЕРМЕЛО

Проблема энергетики все еще занимала значительную часть его времени, но в 1896 году в адрес Больцмана поступило намного более серьезное с научной точки зрения возражение; даже сегодня не до конца ясно, кто выиграл спор, хотя в научной практике нет сомнений в том, что это был Больцман. Новым соперником оказался Эрнст Цермело (1871-1953), позже ставший известным своей ролью в развитии теории множеств, в то время работавший ассистентом Планка.

Возражение, которое сформулировал Цермело, сегодня известно как "парадокс рекурсивности" и основывается на самом деле на теореме, провозглашенной Анри Пуанкаре (1854-1912) шестью годами ранее. Однако за открытие этой идеи следует воздать должное Фридриху Ницше (1844-1900), который за десять лет до того пришел к тем же выводам другими средствами. Немецкий философ верил в то, что стали называть "вечным возвращением", в идею, согласно которой Вселенная проходит через одно и то же состояние снова и снова, так что вся история существования точно повторяется бесконечное число раз.

ЭРНСТ ЦЕРМЕЛО

Самый значительный вклад немецкого математика Эрнста Цермело связан с аксиоматизацией теории множеств.

Теория множеств — это область математики, изучающая свойства множеств, и уже первые ее версии содержали парадоксы. Так, она давала противоречивые ответы на вопрос:

"Содержит ли множество всех множеств само себя?" Аксиоматизация состоит в том, чтобы сформулировать ряд утверждений, называемых аксиомами, которые не требуют доказательства.

На их основе можно вывести остальной теоретический корпус. Цермело создал аксиоматическую систему для теории множеств, которая была лишена противоречий. Его система, измененная несколькими годами позже Абрахамом Френкелем (1891-1965), породила систему Цермело — Френкеля, которая используется по сегодняшний день.

Утверждение Ницше не имело мистической природы и базировалось не на призрачных аргументах; он несколько лет изучал физику, чтобы обосновать свой принцип. И пусть его доказательство не обладает математической строгостью, как более позднее доказательство Пуанкаре, в общих чертах оно верно. Некоторые авторы утверждают, что на самом деле оно настолько же справедливо, как и доказательство Пуанкаре, но в распоряжении Ницше не было математических инструментов, необходимых для доказательства гипотезы, хотя не исключено, что это преувеличение. Ницше рассматривал вечное возвращение так:

"Если Вселенную можно расценивать как определенное количество энергии, как определенное число центров энергии, (...J то из этого можно сделать вывод, что Вселенная должна пройти через исчисляемое количество сочетаний [...]. В бесконечности, рано или поздно, все возможные сочетания должны были бы возникнуть; причем бесконечное число раз".