III.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12×5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12×51/2 где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 125 совсем легко, это кратное умножение: 12×12×12×12×12. Чтобы справиться с, требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины P через Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Q через P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = a×b, то a = x:b и b = x:a. Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что a×b всегда и без единого исключения равно a×b, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что ab = ba (единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих a и b — это 24 = 42). Например, 102 есть 100, но 210 есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = ab, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить a через x и b и, отдельно, способ выразить b через x и a. Первое — не проблема. Возведем обе части в степень 1/b и в соответствии с 3-м правилом получим a = x1/b (что согласно 6-му правилу означает, что a есть корень b-й степени из x). Но как же выразить b через x и а? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.

Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: b есть логарифм x по основанию a. Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа x по основанию a (обычно записываемый как loga x) определяется как такое число b, для которого верно равенство x = ab. Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм x по основанию 2, логарифм x по основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х0 на рисунке 5.1.

Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e, где e — необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e — единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e», а буду говорить просто «логарифм».[37] Так что же такое логарифм числа x? По данному выше определению, это такое число b, для которого делается верным равенство x = eb.

Поскольку ln x — это такое число b, для которого верно равенство x = eb, ясно, что x = eln x. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.

Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,7182811,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.

Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.

Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график[38] функции ln x для аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.

Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).