Способность «не задавать слишком много вопросов» – необходимый для физика навык, потому что для получения хоть каких-то ответов где-то надо провести черту, так как ни одна система объектов не может быть полностью изолированной. Кажется разумным, что при желании понять, как работает микроволновая печь, не стоит интересоваться движением вокруг нее.

Все это движение окажет незначительное влияние на работу микроволновки. Оно вызовет колебания воздуха и земли, которые повлекут за собой небольшие сотрясения и самой печи. Могут появиться какие-то бродячие магнитные поля, которые повлияют на работу электроники, как бы хорошо она ни была защищена от подобных воздействий. Игнорируя такие вещи, легко допустить ошибку, так как можно упустить из виду действительно важные детали. Если так и произойдет, мы получим неверный ответ и будем вынуждены пересмотреть предположения. Это очень важный момент, напрямую связанный с научным успехом: все предположения в конце концов подтверждаются или опровергаются экспериментально. Арбитром является природа, а не человеческая интуиция. Поэтому наша стратегия – игнорировать подробности функционирования механизма удержания электрона и моделировать нечто под названием «потенциал». Слово «потенциал» на самом деле обозначает «воздействие на частицу какой-то физической или иной силы, которую я не очень хочу подробно объяснять». Мы, впрочем, позже подробно опишем методы взаимодействия частиц, а пока будем употреблять термин «потенциал». Если это звучит несколько бесцеремонно, рассмотрите пример, иллюстрирующий использование потенциалов в физике.

На рис. 6.4 изображен мяч, лежащий в долине. Если ударить по мячу, он может подняться, но лишь до определенного предела, после чего снова упадет. Это отличный пример частицы, пойманной потенциалом. В этом случае гравитационное поле Земли создает потенциал, а крутой холм порождает крутой потенциал. Нужно понимать, что мы можем вычислить подробности передвижения мяча по долине, не зная деталей того, как долина взаимодействует с мячом, потому что для этого пришлось бы знать еще и теорию квантовой электродинамики. Если окажется, что детали внутриатомного взаимодействия между атомами в долине и атомами в мяче слишком сильно воздействуют на движение мяча, наши предсказания окажутся неверными. На самом деле внутриатомные взаимодействия важны, потому что из них возникает трение, но моделировать ситуацию можно и без обращения к диаграммам Фейнмана. Однако мы уклонились от темы.

Рис. 6.4. Мяч лежит в долине. Высота над уровнем моря прямо пропорциональна потенциалу, воздействию которого подвергается движущаяся частица

Этот пример очень важен, потому что в прямом смысле демонстрирует форму потенциала[23].

Однако идея имеет более общее содержание и работает в том числе и для потенциалов, созданных не гравитацией и не впадинами на земной поверхности. Примером служит электрон, оказавшийся в прямоугольной яме. В отличие от случая с мячом в долине, высота стенок ящика не может быть точной высотой чего бы то ни было; скорее, можно говорить, что она соответствует скорости, с которой должен двигаться электрон, чтобы выбраться из ямы. В случае с долиной аналогом этого будет быстрое движение мяча, при котором он взлетит выше стен и выскочит из ямы. Если электрон движется достаточно медленно, точная высота потенциала не имеет особого значения, и можно уверенно предположить, что движение электрона ограничено внутренней частью ямы.

Теперь сосредоточимся на электроне, замкнутом в ящике, который описывается прямоугольной потенциальной ямой. Поскольку он не может вырваться из ящика, квантовые волны должны упасть до нуля у его стенок. Три возможные квантовые волны с наибольшими длинами будут полностью аналогичны волнам, созданным гитарной струной и показанным на рис. 6.2: самая длинная волна будет иметь двойной размер по сравнению с ящиком, то есть 2L; следующая по длине волна будет равна размеру ящика – L; а следующая – 2L / 3. В общем случае мы можем описать электронные волны формулой 2L / n, где n = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Таким образом, для нашего прямоугольного ящика электронные волны будут иметь точно такую же форму, что и волны на гитарной струне: это будут волны-синусоиды с четко определенным набором разрешенных длин. Теперь можно двинуться вперед, призвав на помощь уравнение де Бройля из предыдущей главы и связав длину этих волн-синусоид с импульсом электрона: p = h / λ. В этом случае стоячие волны описывают электрон, которому разрешено иметь лишь определенные импульсы, заданные формулой p = nh / (2L), где все, что нам остается, – подставить разрешенные длины волны в уравнение де Бройля.

Получается, что импульс нашего электрона в прямоугольной яме квантуется. Это уже большое достижение. Однако надо быть осторожными: потенциал на рис. 6.3 – специфический случай, для других потенциалов стоячие волны обычно не синусоидальные. На рис. 6.5 показана фотография стоячих волн, созданных барабаном. Кожа барабана усыпана песком, который собирается в узлах стоячей волны. Так как кайма вибрирующего барабана круглая, а не прямоугольная, стоячие волны уже не будут синусоидами[24]. Это значит, что в более реалистичной ситуации, когда электрон пойман протоном, стоячие волны тоже не будут синусоидами. В свою очередь, это подразумевает, что связь между длиной волны и импульсом утеряна. И как в этом случае интерпретировать стоячие волны? Что если у пойманных частиц квантуется не импульс?

Рис. 6.5. Вибрирующий барабан покрыт песком. Песок собирается в узлах стоячих волн

Мы можем найти ответ, если заметим, что в прямоугольной потенциальной яме квантуется не только импульс электрона, но и его энергия. Это простое наблюдение, кажется, не содержит никакой новой важной информации, поскольку энергия и импульс прямо связаны друг с другом, а именно энергия E = p² / 2m, где p – импульс удерживаемого электрона, а m – его масса[25]. Но это наблюдение не такое уж бесполезное, как можно подумать, потому что для потенциалов не столь простых, как прямоугольная яма, каждая стоячая волна всегда соотносится с частицей определенной энергии.

Важное различие между энергией и импульсом появляется потому, что уравнение E = p² / 2m верно, только если потенциал одинаков по всей области вероятного пребывания частицы и позволяет ей двигаться свободно, как по мраморной столешнице или, что больше относится к делу, как электрону в прямоугольной яме. В общем случае энергия частицы не будет сводиться к E = p² / 2m; это будет сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. Так разрушается прямая связь между энергией частицы и ее импульсом.