Зачастую бывает очень полезно знать вероятность одновременного наступления нескольких событий. Какова вероятность исчезновения электричества в сети и выхода из строя автономного генератора? Вероятность одновременного наступления двух независимых событий представляет собой произведение их соответствующих вероятностей. Другими словами, вероятность наступления события A и события B равна вероятности наступления события A, умноженной на вероятность наступления события B. Чтобы вам стало понятнее, приведу соответствующий пример. Если вероятность выпадания орла при однократном подбрасывании монетки составляет ½, то вероятность его выпадания при подбрасывании такой же монетки два раза подряд равняется ½ × ½ = ¼; три раза подряд – ⅛; четыре раза подряд – 1/16 и т. д. (Понятно, что вероятность выпадания решки при подбрасывании монетки четыре раза подряд также составляет 1/16.) Это объясняет, почему системный администратор в вашем учебном заведении или офисе постоянно напоминает вам о необходимости усложнить пароль. Если вы используете шестизначный пароль, состоящий только из цифр, мы можем подсчитать количество возможных паролей: 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, что равняется 106, или 1 000 000. На первый взгляд, количество комбинаций настолько велико, что угадать пароль сложно, однако компьютер проверит все эти 1 000 000 вариантов за какую-то долю секунды.

Допустим, системный администратор убеждает вас включить в пароль буквы. На данном этапе для каждого из шести разрядов имеется 36 комбинаций: 26 букв английского алфавита и 10 цифр. Итак, количество возможных паролей возрастает до 36 × 36 × 36 × 36 × 36 × 36, или 366, то есть свыше двух миллиардов. Если ваш системный администратор требует, чтобы пароль состоял из восьми цифр, и призывает использовать символы #, @, % и! как в Чикагском университете, то количество потенциальных паролей увеличивается до 468, то есть свыше 20 триллионов.

Здесь нужно сделать одно важное замечание. Эта формула применима только если события независимы; иными словами, когда исход одного события не оказывает влияния на исход другого события. Например, вероятность того, что в результате первого подбрасывания монетки выпадет орел, не влияет на вероятность исхода второго подбрасывания той же монетки. С другой стороны, вероятность того, что сегодня пойдет дождь, не независима от того, был ли он вчера, поскольку грозовые фронты могут сохраняться на протяжении нескольких дней. Аналогично, вероятность того, что сегодня ваш автомобиль попадет в аварию, и того, что он попадет в нее в следующем году, также не независимы друг от друга. То, что привело к аварии вашего автомобиля в этом году, может спровоцировать ДТП и в следующем году: возможно, вы склонны садиться за руль в нетрезвом состоянии, или вам нравится устраивать гонки на дороге, или строчить эсэмэски во время вождения; наконец, не исключено, что вы просто плохой водитель. (Именно поэтому после каждого очередного ДТП ваша страховая ставка повышается; дело не столько в желании страховой компании компенсировать деньги, выплаченные ею согласно страховому договору, сколько в том, что теперь она располагает новой информацией о вероятности вашего попадания в дорожно-транспортные происшествия в дальнейшем, поскольку – после того как вы, заезжая в гараж, сильно поцарапали свой автомобиль – такая вероятность повысилась.)

Допустим, вас интересует вероятность наступления одного (исхода A) или другого (исхода B) события (опять же предполагая, что они независимы). В этом случае вероятность наступления события A или B равна сумме их индивидуальных вероятностей, то есть вероятность A плюс вероятность B. Например, вероятность выпадания 1, 2 или 3 в результате подбрасывания одной игральной кости равняется сумме их отдельных вероятностей: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½. Это должно быть интуитивно понятно. При подбрасывании игральной кости есть шесть возможных исходов. Числа 1, 2 и 3 в совокупности составляют половину из них. Следовательно, вероятность выпадания 1, 2 или 3 вследствие подбрасывания одной игральной кости равняется 50 %. Если вы играете в кости в Лас-Вегасе, то вероятность выпадания 7 или 11 в результате однократного подбрасывания равна количеству комбинаций, составляющих в сумме 7 или 11, поделенному на общее число вариантов, которые могут выпасть в результате подбрасывания двух игральных костей, или 8/36[24].

Вероятность также позволяет подсчитать математическое ожидание – чрезвычайно полезный инструмент, используемый при принятии любых управленческих решений, особенно в сфере финансов. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Математическое ожидание, или отдача (функция выигрыша) от некоторого события, например покупки лотерейного билета, представляет собой сумму всех разных исходов, весовыми коэффициентами при каждом из которых являются вероятность исхода и выигрыш. Как обычно, приведем пример, чтобы прояснить смысл сказанного. Допустим, вам предложили сыграть в кости, причем подбрасывается только одна игральная кость. Функция выигрыша в этой игре такова: 1 доллар, если у вас выпадает 1; 2 доллара, если у вас выпадает 2; 3 доллара, если у вас выпадает 3 и т. д. Каково математическое ожидание в случае однократного подбрасывания игральной кости? Вероятность каждого из возможных исходов равняется 1/6, поэтому математическое ожидание вычисляется так:

⅙ ($1) + ⅙ ($2) + ⅙ ($3) + ⅙ ($4) + ⅙ ($5) + ⅙ ($6) = 21/6, или $3,50.

На первый взгляд, математическое ожидание 3,50 доллара кажется относительно бесполезной величиной. В конце концов, вы не можете фактически заработать 3,50 доллара в результате однократного подбрасывания игральной кости (так как ваш доход в любом случае должен равняться целому числу). На самом деле математическое ожидание представляет собой чрезвычайно мощный инструмент, поскольку он может сказать вам, является ли то или иное событие «справедливым», учитывая его цену и ожидаемый исход. Допустим, вам предлагают поучаствовать в описанной выше игре при ставке 3 доллара за каждое подбрасывание игральной кости. Имеет ли смысл соглашаться на такие условия? Да, поскольку математическое ожидание исхода (3,50 доллара) выше, чем стоимость игры (3,00 доллара). Это не означает, что вы обязательно заработаете деньги в результате однократного подбрасывания игральной кости, но помогает уяснить, на какой риск стоит пойти, а на какой – нет.