Из далёкой древности к нам дошло немало поучительных парадоксов. Они продолжают занимать умы исследователей. Наиболее знамениты апории Зенона.

В переводе с греческого «апория» означает «безысходность», «тупик» (от слова «порос» – выход, с отрицательной частицей «а»). Философы Древней Греции называли так проблемы неразрешимые или не имеющие определённого решения. Согласно Аристотелю апория – «равенство противоположных друг другу доводов».

Апорию можно назвать парадоксальным парадоксом. Это – логичное суждение, которое противоречит реальности.

Зенон два с половиной тысячелетия назад выдвинул апории, показывая возможность невозможного: летящая стрела неподвижна, а быстроногий Ахиллес не сможет догнать черепаху.

Подобные утверждения противоречат здравому смыслу и опыту. Однако осмысление их вскрывает противоречия или неопределённости в наших представлениях о пространстве, времени, движении.

Апории показывают: наши суждения зависят от того, какими правилами мы руководствуемся, по каким алгоритмам рассуждаем. Нужна корректная постановка задачи. Важно учитывать, какие приняты за основу аксиомы – истины, которые не можем или не желаем доказать, принимая на веру.

Некоторые парадоксы древности продолжают интересовать учёных как постановка важных научных проблем. Рассуждения Зенона, по словам английского философа и математика Бертрана Рассела, «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».

Дихотомия

В переводе с греческого «дихотомия» означает «деление надвое». Принцип дихотомии применим к движущему телу. И тогда получается, что оно не сможет пройти заданный путь.

Аристотель писал: «Есть четыре аргумента Зенона о движении, которые доставляют трудности тем, кто пытается их разрешить. Первый – о невозможности движения, так как перемещающееся [тело] прежде должно дойти до половины, нежели до конца».

Иначе говоря, движение не может быть абсолютным; всё зависит от того, при каких условиях его фиксировать. Возможно, это была попытка показать, что пространство и движение – относительные категории.

Как философ Зенон исходил из принципа своего учителя Парменида: Бытие едино, вечно и неподвижно, а небытия нет. А Парменид был представителем философской школы легендарного Пифагора. По словам Аристотеля: «Пифагорейцы, занявшись математикой… стали считать её начала началами всего существующего. А так как среди этих начал числа от природы суть первое… то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число».

Пифагорейцы, продолжал он, «…рассуждают о более необычных началах и элементах, нежели размышляющие о природе, и это потому, что они заимствуют их не из чувственно воспринимаемого, ибо математические предметы лишены движения».

У пифагорейцев совмещалось два, казалось бы, противоположных взгляда на природу: стремление выразить все сущее мерой и числом, математическими соотношениями и – мистическое отношение к числам, представляемым как божественные символы.

Математика, в отличие от естествознания, создавала на основе логики мир идеальный. (Удивительно, что он помогает познать материальный мир!) При сопоставлении реалий жизни с математическими идеалиями возникали парадоксы.

Итак, дихотомия. Чтобы пройти некоторый путь, надо сначала преодолеть половину пути, затем половину оставшейся половины, после чего – половину оставшейся части и так до бесконечности. Мы будем постоянно приближаться к концу пути, но никогда его не достигнем. Логично? Да.

Отсюда столь же логично следует вывод: при таких условиях достичь конечного пункта в принципе невозможно, а стало быть, движение – процесс относительный. Абсолютна только неподвижность Единого.

Этой апории посвятил стихотворение Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей.

В первой строфе показано, как простой опыт опровергает отсутствие движения. А во второй строфе очевидность (движение Солнца по небосводу) опровергается методом науки. Значит, не следует ограничиваться представлениями здравого смысла и наблюдениями. Надо уметь размышлять.

Справедливости ради отметим: Зенон не отрицал движение как таковое, но показывал, что оно сопряжено с некоторыми парадоксами.

Зенон Элейский

В XIX веке, казалось, удалось решить «Дихотомию». Достаточно сложить ряд чисел, показывающих пройденный путь: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… Сумма этого бесконечного ряда стремится к единице. Значит, Ахиллес может приблизиться к черепахе на сколь угодно малое расстояние. Возникает проблема пространства. Если оно не имеет предела делимости, деление может продолжаться бесконечно. А если предел есть?

Такой предел предположил греческий мыслитель Демокрит два с половиной тысячелетия назад. Он учил: материя состоит из мельчайших неделимых частиц – атомов и пустоты (вакуума): богов придумали люди по своему образу и подобию, пытаясь объяснить мир; случайность – выражение нашего незнания; всё происходит по каким-либо причинам и законам.

Если Мир состоит из атомов (неделимых – так это слово переводится с греческого), деление отрезка пространства надвое дойдёт до атома. Таков предел, на котором движение (дихотомия) прекратится.

Теперь мы знаем, что атом делим на части. Только невозможно выяснить, можно ли продолжать его деление надвое до бесконечности. Абстрактное математическое пространство можно делить на сколь угодно мелкие части (хотя понятие «часть» предполагает нечто единое). В геометрии можно дойти до точки, которая по определению не имеет размера.

Парадокс дихотомии не имеет определённого решения. Оно зависит от некоторых предварительных условий.

В житейском аспекте мораль проста: в некоторых ситуациях надо проверить теорию на практике, не только размышлять, но и действовать. Как говорится, практика – критерий истины.

Кстати, можно оспорить этот афоризм. Известно: пресная вода кипит при +100 °C. На практике легко это доказать, но и нетрудно опровергнуть. Надо подняться на гору и нагреть воду до кипения. Её температура будет меньше ста градусов. Значит, практика не всегда критерий истины, хотя и помогает уточнить или дополнить выводы теории.

…В полемике с В. Ильиным (В.И. Лениным) философ и учёный А. Богданов-Малиновский пояснял: «Когда Маркс говорит, что критерий истины есть практика, то он выражает этим, прежде всего, именно точку зрения относительности истины. С изменением содержания практики людей изменяется и их истина. То, что было истиною в пределах практики более узкой, перестаёт быть ею в практике более широкой. А для В. Ильина “критерий практики”, это нечто вроде экзамена, после которого истине выдаётся окончательный аттестат: выдержала несколько веков, была безвредна – отлично, истина признаётся “объективной”, вечной и т. д.; не выдержала – заблуждение, и тоже объективное, вечное…»

Далеко в дебри философии заводят нас парадоксы.

Ахиллес и черепаха