Самым большим известным числом в те времена была мириада (10 000). В одном ведре песка уже содержится мириада мириад песчинок. Поэтому Архимеду пришлось придумать новый вид счета и изобрести экспоненциальное представление чисел, известное также и ученым доведической Древней Индии. Всегда найдется число, которое сколь угодно больше предыдущего: 100, 1000, 10 000… Экспоненциальная запись позволяет нам обозреть бесконечное, ограничить исчисляемое и охарактеризовать бесконечно малое.

Применение этого метода требует высокого уровня абстрактного мышления. Существа, неспособные на абстрактное мышление, воспринимают Вселенную в линейной последовательности – 1, 2, 3, 4, 5… Так мы считаем вещи и перемещаем свои тела сквозь пространство и время. Два километра, три километра. Восемь яблок. Девять яблок. Тиканье часов. (Хотя мы и измеряем время в экспоненциальных величинах – в секундах, минутах и часах, – однако свое движение сквозь него мы ощущаем, как линейное.)

Экспоненциальность порождает последовательности, которые неоднородны в пространстве и времени: два соседних числа в них разделяет постоянное соотношение, а не постоянная разница. В последовательности 1, 10, 100, 1000 каждый член – это десять в степени 0, 1, 2, 3 (количество нулей). Экспоненциальность – это революционное понятие, без которого не могла бы существовать современная количественная наука. Вы можете охватить самое маленькое квантовое расстояние (планковская длина, 1,6 × 10–35 м) и диаметр Вселенной (около 100 млрд световых лет, то есть 1027 м) всего 62 степенями десяти. Любой может сосчитать до 62.

Вооружившись этим новым способом работы с большими числами, Архимед приступил к своим расчетам. Насколько я могу судить, он возвел в куб свою оценку диаметра Вселенной, чтобы получить ее объем, и разделил его на объем песчинки[121], чтобы получить абсолютный верхний предел количества песчинок – 1063. Заметьте, Архимед не считал песчинки, а просто показал, что они исчислимы. Он признавал, что это не значит, что их можно сосчитать: это совсем другое. Всех песчинок на всех пляжах мира всего лишь несколько квинтиллионов, то есть порядка 1018. В одном году 32 млн секунд, так что, если пересчитывать по 10 песчинок в секунду, потребуется 10 млрд лет. Земля и Солнце к тому времени исчезнут. Вам понадобятся миллиарды высокоскоростных пескосчетных машин, чтобы закончить работу до вашей смерти. Песчинки, как звезды в небе, исчислимы только в принципе, но это не делает их число бесконечным. Является ли это различие чисто философским – или же оно имеет решающее значение?

В духе соображения, что микроскоп – это телескоп, развернутый задом наперед, Архимед обратил свои рассуждения в обратную сторону, чтобы поразмыслить о бесконечно малых. Он решил парадокс Зенона, выяснив, что только то, что среди слагаемых есть бесконечно малые величины, не означает, что их нельзя сложить. Ученый доказал, что 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2n + … = 1, поэтому Ахиллес догонит черепаху, а стрела попадет в дерево. Доказательства Архимеда были простыми и подкупали своей геометрической формой[122]. Разделив квадрат на более маленькие квадраты, он доказал, что 1/4 + 1/16 + 1/64 + … + 1/4n + … = 1/3. Архимед вывел бесконечные ряды, которые дали лучшие на тот момент оценки числа π и кубического корня из 3 – оценки, лежащие в основе великих достижений техники, картографии и естественных наук. Только в эпоху Просвещения будут открыты более глубокие нюансы бесконечности, и в результате появится математический анализ, который значит для современной физики то же, что геометрия – для древних греков.

* * *

Геометрическая прогрессия продолжается до бесконечности в обе стороны: … 1/64, 1/32, 1/16, 1/8, 1/8, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32 … Если вы движетесь влево, вы имеете дело со все меньшими числами, которые, однако, никогда не становятся нулем, а если вправо, то со все более огромными, которые никогда не становятся бесконечностью. Этот ряд называется степенями двойки; количество атомов во Вселенной составляет примерно 276, то есть число в 76 шагах вправо. Поскольку двоичные цифры («биты») могут быть представлены простыми двухпозиционными переключателями и все равно несут огромное количество информации, бинарная арифметика стала основой для современной электроники.

Геологи, пекари, строители и земледельцы также используют двоичные ряды, поскольку для нас естественно увеличивать вещи вдвое и делить их напополам, на четвертинки и так далее. Есть доски 2 × 4 и фанера 4 × 8. Галлон – это четыре кварты, кварта – это две пинты, пинта – это две полпинты, а полпинты– восемь унций. Чейн[123] – это четыре рода[124]; миля – восемь фурлонгов[125]. Булыжник – это фрагмент горной породы диаметром от 64 до 256 мм, галька – от 4 до 64 мм, а валун – от 256 мм и больше. Диаметр частиц песка – от 4 мм до 1/16 мм, а все что меньше – это пыль.

Просеивая песок с пляжа, вы получите немного мелкой гальки, сколько-то крупных и много-много мелких песчинок. До сих пор у нас наблюдается геометрическая прогрессия – но пыли там будет немного. В целом мы имеем постоянное соотношение числа песчинок, гальки и булыжников – скажем, каждое в 100 раз меньше предыдущего, – так почему же прогрессия обрывается? Отклонения от постоянного соотношения рассказывают нам геологическую историю. На пляже частицы самого мелкого песка и пыли уносятся водой, оставляя крупный песок, в который мы так любим закапывать пальцы ног; ил уплывает в море и оседает на самой глубине.

На лунной поверхности песка очень мало (хотя, когда вы просеиваете образцы, чтобы избавиться от всего, кроме частиц размером с песчинку, они оказываются невероятно интересными!) Верхние 10 м составляет вездесущий реголит – по большей части это тонкая пудра, магматическая силикатная пыль с диаметром частиц от 20 до 70 микрометров (примерно в десять раз меньше песчинки) плюс небольшая доля более крупных фрагментов и немного гравия. На Луне геометрическая прогрессия продолжается, пока материал не превращается в основном в пыль; в отличие от земного пляжа пыль образуется здесь гораздо быстрее, чем уносится прочь. Это происходит потому, что на Луне нет дождей и океанов, а ветер только солнечный, который и долбит песчинку за песчинкой. Поскольку там нет атмосферы, уничтожающей мелкие, очень многочисленные метеороиды, верхние несколько метров поверхности представляют собой в основном пыль.