В каждый из периодов определенный агент может быть нанят только одним купцом и купец может нанимать только одного агента. Кто кого конкретно наймет, определяется случайно, но купец может ограничить свой выбор подмножеством незанятых агентов, о которых купец знает, что ранее они предпринимали определенные действия[52].

Купец, который не нанимает агента, получает выигрыш к > 0. Совокупный доход от кооперации составляет у. Купец, нанимающий агента, определяет, какую оплату (W > 0) ему предложить. Поскольку нанятый агент держал капитал купца, логично предположить, что получение оплаты агентом гарантировано. Нанятый агент может решать, быть ему честным или смошенничать, а его действия становятся элементом публично доступной информации. Если агент честен, выигрыш купца составляет у – W, а выигрыш агента – W. Если он мошенничает, его выигрыш составит а > 0, а выигрыш купца – у – а. Предполагается, что у > к + w (кооперация эффективна); у > а > w (мошенничество влечет потерю, и агент предпочитает мошенничество получению гарантированной полезности), а к > у – а (купец предпочтет не нанимать агента и получить к, а не быть обманутым или выплатить агенту сумму, равную той, которую агент может получить мошенническим путем).

После распределения выигрышей каждый купец может решить, прекратить ли ему отношения со своим агентом. Однако есть вероятность т, что он будет вынужден прекратить их. Необходимость переносить торговлю в другие места и переключаться на другие товары, а также высокий уровень неопределенности торговли и жизни в XI в. ограничивали возможности купца брать на себя обязательства относительно будущей оплаты труда агентов или их найма. Следовательно, модель предполагает схему с постоянной оплатой (которая в действительности использовалась магрибцами), а также ограниченную возможность принимать обязательства по найму агента в будущем[53]. Наконец, оплата не определялась ни политически, ни юридически, причем у нас нет данных о каких-либо спорах касательно определения размера оплаты труда. Соответственно анализ предполагает, что нет подгрупп, которые были бы организованы таким образом, чтобы влиять на определение размера оплаты труда.

Анализ этой модели, являющейся версией односторонней дилеммы заключенного, показывает, почему у магрибцев коллективное наказание стало самоподдерживающимся. Рассмотрим многостороннюю (коллективную) комбинацию стратегий наказания. Купец предлагает агенту оплату W *, снова нанимает того же агента, если тот был честным (если только они не были вынуждены расстаться); увольняет агента, если тот мошенничал; никогда не нанимает агента, который когда-либо мошенничал в отношениях с каким-либо купцом; (случайно) выбирает агента из ненанятых агентов, которые никогда не мошенничали, если происходит вынужденное расставание с текущим агентом. Стратегия агента заключается в том, чтобы оставаться честным, если ему платят W *, и мошенничать, если ему платят меньше W *. Является ли многосторонняя стратегия наказания совершенным по подыграм равновесием? Накажет ли купец агента, который не обманывал его?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо рассмотреть факторы, определяющие оплату W*, которая предлагается купцами. Пусть hh обозначает вероятность того, что ненанятый честный агент (т. е. агент, который был честным, когда его нанимали в последний раз) будет нанят снова. Пусть hc обозначает вероятность того, что ненанятый мошенник (т. е. агент, который смошенничал, когда его нанимали в последний раз) будет нанят снова. Теорема III.1 задает соотношение между параметрами модели, данными вероятностями и наименьшей оплатой, наилучшей реакцией на которую будет честность со стороны агента[54].

В условиях многосторонней стратегии наказания мотивация агента, заставляющая его быть честным, складывается из пряника, предполагающего получение надбавки к его гарантированной полезности, и кнута в форме увольнения. Если разница между текущей ценностью ожидаемой полезности ненанятого мошенника за всю его жизнь и тем же значением полезности нанятого агента больше, чем выигрыш от мошенничества в одном периоде, тогда наилучшая реакция агента – быть честным.

Следовательно, оптимальная оплата снижается, если честный агент с большей вероятностью получает будущие надбавки к оплате (hh выше), может меньше заработать путем мошенничества (а ниже), с большей вероятностью остается нанятым, если он честен (т ниже), имеет худшие возможности в любом другом месте (w̅ ниже) и имеет меньшие шансы быть нанятым в случае мошенничества (hc ниже). Кроме того, оптимальная оплата уменьшается, когда ценность будущего дохода для агента повышается (б выше), поскольку вознаграждение за честность и наказание за мошенничество осуществляются в будущем.

Чтобы многосторонняя стратегия наказания создавала симметричное совершенное по подыграм равновесие, каждый купец должен считать наем агентов оптимальным решением. На равновесной траектории это условие означает, что оплата устанавливается на достаточно низком уровне, т. е. W* = w(., hc, hh) < γ – к, где hc = 0, а hh = τМ/(А – (1 – τ)М)[56]. Предположим, что это условие удовлетворено. Сочтет ли купец оптимальным наказать того агента, который его не обманывал? Когда перемена агентов не предполагает издержек (как мы пока здесь считаем), купцы вполне могут наказать мошенника, и тогда многосторонняя стратегия наказания оказывается совершенным по подыграм равновесием. Однако достоверность многостороннего наказания, которая покоится на такой хрупкой посылке, не является удовлетворительным решением. Очевидно, Маймун бен Хальфа считал, что наказание сицилийского агента влечет определенные издержки. Следовательно, более важным вопросом является то, действительно ли многосторонняя стратегия наказания мотивирует купца строго отдавать предпочтение найму честного агента, а не мошенника.