По определению, мантисса не может быть меньше одного и не может быть больше или равна десяти[116]: 1 ≤ мантисса < 10.

Мантисса поможет нам сформулировать усовершенствованный вариант закона Бенфорда. Грубо говоря, закон гласит, что среди большого количества измерений около 30 % чисел имеют первую значащую цифру 1, то есть имеют мантиссу меньше 2.

Уточняя закон Бенфорда, мы можем присмотреться к первым двум цифрам большого количества измерений и задаться вопросом: с какой частотой мантисса будет, скажем, меньше 1,7? Вот другая формулировка того же вопроса: с какой частотой первые две цифры будут 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 16?

В более общем виде: для любого числа m между 1 и 10 мы обозначим f(m) долю чисел, чья мантисса меньше m.

Например, f(2) – доля чисел, начинающихся на цифру 1. Величина f(3) означает долю чисел с начальной цифрой 1 и 2. Такая запись поможет понять, как возрастают частоты в законе Бенфорда.

Как использовать такую форму записи для обозначения доли измерений с начальной цифрой, скажем, 4?

• Заметим, что запись f(4) не означает, что начальная цифра равна 4. Это может быть также 1, 2 или 3.

• Точно так же запись f(5) означает, что первые цифры могут быть 1, 2, 3, 4.

• Чтобы выяснить, сколько чисел начинается на цифру 4, вычтем одну величину из другой: f(5) – f(4). Тогда мы исключим числа с начальной цифрой 1, 2, 3.

Есть две особые величины: чему равно f(1) и f(10)? Подумайте минуту, прежде чем читать дальше.

Вспомним: f(m) обозначает долю чисел с мантиссой меньше m. В то же время 1 ≤ m < 10. Что из этого следует?

• Нет ни одного числа с мантиссой меньше 1. Таким образом, f(1) = 0.

• Мантиссы всех чисел меньше 10. Таким образом, f(10) = 1 (или, если вам угодно, 100 %).

Между этими границами величина f(m) возрастает. Чем больше чисел с мантиссой меньше m, тем больше f(m).

Следующий шаг – понять, как f(m) зависит от m. Но вначале мы рассмотрим общий случай перехода из одной единицы измерения в другую.

Ярды или футы[117]?

Мы собрали тысячи измерений длин в километрах и увидели закон распределения первых цифр. Если мы переведем километры в мили, распределение не изменится. Измерения внутреннего валового продукта в долларах США дают примерно такую же частотность первых цифр. Ничего не изменится, если мы будем измерять ВВП в евро (или британских фунтах, или российских рублях). Но давайте присмотримся к переводу ярдов в футы.

Предположим, мы измеряем огромное количество расстояний в ярдах и в футах и изучаем распределение первых цифр. Как много величин имеют первую значащую цифру 2? Это множество включает и 2,1, и 28, и 0,213, и 299,8 ярда. В обозначениях, которые мы приняли в предыдущем разделе, доля величин такого рода по отношению ко всем измерениям[118] равна f(3) – f(2).

А теперь переведем наши измерения в футы. Иными словами, просто умножим всё на 3. 2,1 ярда равны 6,3 фута. Измерения в ярдах с первой значащей цифрой 2 превратятся в измерения с первой значащей цифрой от 6 до 9, не включая 9. Вы удивлены?

Вначале может показаться, что, если первая значащая цифра величин в ярдах равна 2, первая значащая цифра величин в футах будет равна 6. Это не так: 2,8 ярда равны 8,4 фута. Если мантисса измерений в ярдах находится в пределах от 2 до 3 (не включая 3), мантисса тех же измерений в футах будет в пределах от 6 до 9 (не включая 9).

Какая доля измерений имеет первую значащую цифру 6, 7 или 8? Ответ[119]: f(9) – f(6).

Близится кульминация: мы имеем дело с одними и теми же измерениями в разных единицах длины, поэтому доля измерений в ярдах с мантиссой 2 будет равна доле измерений в футах с мантиссой 6, 7 или 8. Иными словами, f(3) – f(2) в ярдах равно f(9) – f(6) в футах. Посмотрите на рисунок. Оба прямоугольника символизируют всю совокупность наших измерений: первый прямоугольник – в ярдах, второй прямоугольник – в футах. Серая область в первом прямоугольнике обозначает измерения с мантиссой 2. Соответствующая область во втором прямоугольнике обозначает измерения с мантиссой 6, 7 или 8.

Важно понимать, что обе закрашенные области идентичны! Так что доля измерений в ярдах с мантиссой 2 равна доле измерений в футах с мантиссой 6, 7 или 8.

Рассмотрим более общий случай. Вообразим, что мы собрали множество измерений и хотим выяснить, сколько из них имеют мантиссу меньше определенного числа a. Доля величин, удовлетворяющих этому условию, равна f(a).

Мы переводим результаты в другие единицы измерения. Пусть коэффициент будет равен числу b[120]. Иными словами, если длина объекта в одних единицах измерения равна 23,5, в других она будет равна 23,5 × b.

Напомню, что f(a) равно доле величин с мантиссой от 1 до a, не включая a. Те же величины в других единицах имеют мантиссу строго меньше ab[121]. Их доля равна f(ab).

На языке формул тезис о равенстве долей величин с мантиссой меньше a в одних единицах и с мантиссой меньше ab в других единицах выглядит так: