После того как римляне завоевали греков, а особенно после сожжения Александрийской библиотеки и падения Западной Римской империи центр математики снова переместился на Восток. Сочинения Архимеда и Евклида перевели на арабский – равно как и труды Птолемея, Аристотеля и Платона. Ученые и писцы Константинополя и Багдада сохранили старые знания и добавили собственные идеи.

Как алгебра расцветала, а геометрия увядала

За столетия до появления алгебры геометрия существенно замедлила свое развитие. После смерти Архимеда в 212 году до нашей эры казалось, что никто не сравнится с ним на этом поле. Ну, почти никто. Около 250 года нашей эры китайский геометр Лю Хуэй усовершенствовал метод Архимеда для вычисления числа π[146]. Спустя два столетия Цзу Чунчжи использовал метод Ли Хуэя для многоугольника с 24 576 сторонами. Совершив по тем временам героические вычислительные подвиги, он сузил границы для π до восьми цифр:

Следующий шаг потребовал еще пяти столетий и был сделан арабским мудрецом Абу Али аль-Хасаном ибн аль-Хайсамом[147], известным на Западе как Альхазен. Он родился в Басре (Ирак) примерно в 965 году и работал в Каире во время золотого века ислама[148], занимаясь всем – от теологии и философии до астрономии и медицины. В своих работах по геометрии Ибн аль-Хайсам вычислял объемы тел, которые Архимед никогда не рассматривал. Но какими бы впечатляющими ни были эти достижения, они были редкими признаками жизни для геометрии, да и ушло на них двенадцать столетий.

В течение того же длительного периода в алгебре и арифметике наблюдался быстрый и существенный прогресс. Индийские математики изобрели понятие нуля и десятичную позиционную систему счисления. В Египте, Ираке, Персии и Китае появились алгебраические методы решения уравнений. Во многом это было обусловлено практическими задачами, связанными с законами о наследстве, налогообложением, торговлей, бухгалтерией, вычислением процентов и прочими вопросами, где требовались числа и уравнения. В те времена, когда алгебра использовала словесные формулировки, решения давались в виде рецептов, пошаговых путей к ответу, как это разъяснялось в знаменитой книге Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (около 780–850), имя которого осталось в названии пошаговых процедур – алгоритмов. Со временем купцы и исследователи принесли эту вербальную форму алгебры и индо-арабские десятичные цифры в Европу, а арабские сочинения стали переводить на латынь.

В Европе изучение алгебры как самостоятельной символьной системы стало процветать в эпоху Возрождения и достигло пика примерно в 1500 году, когда она приняла современный вид – с буквами для обозначения цифр. Во Франции в 1591 году Франсуа Виет[149] обозначал неизвестные величины гласными буквами, например А и Е, а постоянные величины – согласными, такими как B и G. (Сегодняшние обозначения неизвестных x, y, z и постоянных a, b, c появились спустя полвека в работе Рене Декарта). Замена слов буквами и символами значительно упростила работу с уравнениями и поиск решений.

Не менее серьезный прогресс произошел в области арифметики, когда Симон Стевин в Голландии показал, как использовать десятичные дроби[150]. При этом он разрушил старое аристотелевское различие между числами (означавшими целое количество неделимых единиц) и величинами (непрерывными количествами, которые можно было делить до бесконечности). До Стевина индо-арабские цифры уже использовались для целых чисел, но числа меньше единицы выражались обыкновенными дробями[151]. В новом подходе Стевина даже единицу можно было разделить на части и записать с помощью десятичной записи, ставя цифры после десятичной запятой[152]. Сегодня нам это кажется само собой разумеющимся, но тогда это была революционная идея, которая способствовала появлению анализа. Как только единица перестала быть священной и неделимой, все величины – целые, дробные иррациональные – слились в единое семейство чисел на равных основаниях. В результате анализ получил бесконечно точные действительные числа, необходимые для описания пространства, времени, движения и изменений.

Незадолго до того как геометрия скооперировалась с алгеброй, прозвучало последнее «ура!» в честь геометрических методов старой школы Архимеда. В начале XVII века Кеплер нашел объем криволинейных тел (типа винных бочек и бубликов), мысленно представляя их разрезанными на бесконечно тонкие диски, в то время как Галилей и его ученики Эванджелиста Торричелли и Бонавентура Кавальери[153] аналогичным образом вычисляли площади, объемы и положения центра тяжести различных форм – представляя их состоящими из бесконечных множеств линий и поверхностей. И хотя подход этих людей к бесконечности и бесконечно малым величинам был небрежным, а их методы не отличались строгостью, тем не менее они были мощными и интуитивно понятными. Они приводили к ответам гораздо быстрее и проще, чем метод исчерпывания, так что это казалось захватывающим достижением (хотя теперь мы знаем, что Архимед их опередил; та же идея содержалась в его «Методе», который в то время еще томился незамеченным в молитвеннике в монастыре).

В любом случае, хотя прогресс новых последователей Архимеда в то время выглядел многообещающе, такому продолжению старого подхода не суждено было добиться успеха. Там, где было действие, появилась алгебра символов. А вместе с ней наконец были посеяны семена ее самых мощных ответвлений – аналитической геометрии и дифференциального исчисления.

Встреча алгебры с геометрией

Первый прорыв произошел примерно в 1630 году, когда два французских математика (вскоре ставшие соперниками) Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга связали алгебру и геометрию. Их работа привела к новой области математики – аналитической геометрии, действие в которой развивалось на координатной плоскости – арене, где уравнения оживали и принимали различные формы.