Художник Эдвард Б. Эдвардс, живший в ХХ веке, разработал на основе логарифмической спирали сотни декоративных мотивов – многие из них приведены в его книге «Дизайн и орнаменты с динамической симметрией» (Edward B. Edwards. Pattern and Design with Dynamic Symmetry), например, узоры, показанные на рис. 39.

Рис. 38

Рис. 39

Логарифмическая спираль и золотое сечение неотделимы друг от друга. Рассмотрим серию сложенных воедино золотых прямоугольников, которые получились у нас, когда мы отрезали квадраты от золотых прямоугольников побольше (рис. 40; об этом мы уже немного говорили в главе 4). Если последовательно соединить точки, в которых эти «вертящиеся квадраты» делят стороны в золотом сечении, у нас получится логарифмическая спираль, сворачивающаяся внутрь, к полюсу (то есть в точку на пересечении диагоналей на рис. 25, которой дали пышное название «Око Господне».

Логарифмическую спираль можно получить и из золотого треугольника. В главе 4 мы видели, что если начать с золотого треугольника (напомню, что это равнобедренный треугольник, в котором сторона относится к основанию в золотом сечении) и разделим биссектрисой угол при основании, у нас получится золотой треугольник поменьше. Если и дальше делить биссектрисами углы при основании треугольника – до бесконечности – получится водоворот из треугольников. Если соединить их вершины, получится логарифмическая спираль (рис. 41).

Рис. 40

Рис. 41

Еще логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Этот термин ввел в 1638 году французский математик и философ Рене Декарт (1596–1650), по имени которого названы числа, определяющие положение точки на плоскости относительно двух осей – декартова система координат.

Слово «равноугольная» отражает другое уникальное качество логарифмической спирали. Если прочертить прямую линию из полюса к любой точке спирали, она пересечет кривую под одним и тем же углом (рис. 42). Этим качеством пользуются соколы, когда бросаются на добычу. Соколы-сапсаны – одни из самых быстрых птиц на земле, когда они пикируют к цели, то разгоняются до двухсот километров в час. Однако они могли бы летать даже быстрее, если бы приближались к добыче по прямой, а не по спиральной траектории. Биолог Ванс Э. Такер из Университета Дюка в Северной Каролине многие годы интересовался, почему же сапсаны не выбирают кратчайший путь к добыче. Затем он понял, что поскольку глаза у соколов расположены по сторонам головы, то чтобы воспользоваться преимуществом, которое дает этим птицам острейшее зрение, им приходится поворачивать голову на 40 градусов в ту или иную сторону. В ходе экспериментов в аэродинамической трубе Такер выяснил, что такой поворот головы заметно тормозит движение сокола. Результаты этих исследований были опубликованы в ноябрьском выпуске «Journal of Experimental Biology» за 2000 год и показывают, что соколы держат голову прямо и летят по логарифмической спирали. А поскольку спираль обладает свойством равноугольности, такая траектория позволяет птице, разгоняясь до предельных скоростей, не упускать добычу из виду.

Рис. 42

Как ни удивительно, та же самая спиральная кривая, какую мы наблюдаем у ракушек одноклеточных фораминифер и в сердцевине подсолнуха, та же, которая направляет полет сокола, обнаруживается и в «звездных системах, группирующихся в одной плоскости, наподобие Млечного пути», о которых философ Иммануил Кант (1724–1804) размышлял задолго до того, как их удалось пронаблюдать (рис. 43). Эти системы было принято называть «островные Вселенные» – гигантские галактики, в которых таких звезд, как наше Солнце, сотни миллиардов. Наблюдения на орбитальном телескопе им. Э. Хаббла показали, что в наблюдаемой Вселенной примерно сто миллиардов галактик, многие из них спиральные. Трудно придумать более удачную иллюстрацию к величественному видению английского поэта, художника и мистика Уильяма Блейка (1757–1827), писавшего:

Почему же галактики так часто имеют форму спирали? Спиральные галактики вроде нашего Млечного пути – это относительно плоский диск, вроде блина, состоящий из газа, звездной пыли и звезд. Весь галактический диск вращается вокруг центра галактики. Например, по соседству от Солнца орбитальная скорость вокруг центра Млечного пути составляет примерно 225 километров в секунду, а на полный оборот понадобится около 225 миллионов лет. На других расстояниях от центра и скорость иная – чем ближе к центру, тем больше, а на дальних дистанциях меньше, то есть галактический диск вращается не как твердый диск, а дифференциально. Если посмотреть на диск сверху, у спиральных галактик видны спиральные рукава, которые начинаются вблизи от центра и расходятся в разные стороны по большей части диска, как на рис. 43, где изображена галактика Водоворот. Спиральные рукава – это те области галактического диска, где рождается много новых звезд.

Рис. 43

Поскольку новые звезды самые яркие, спиральную структуру других галактик нам видно издалека. Главный вопрос, на который надо было ответить астрофизикам, состоял вот в чем: как спиральным рукавам удается так долго сохранять форму? Ведь внутренние части диска вращаются быстрее внешних, так что любой крупномасштабный узор, так или иначе связанный с материалом диска, то есть со звездами, долго бы не удержался. Спиральная структура, привязанная к одному и тому же скоплению звезд и облаков газа, неизбежно нарушилась бы, а наблюдениями это не подтверждается. Долголетие спиральных рукавов объясняется волнами плотности – волнами сжатия газа, проходящими по галактическому диску, – которые по пути сжимают газовые облака и способствуют зарождению новых звезд. Спиральный узор, который мы наблюдаем, это попросту проявление тех областей диска, где плотность выше средней и много новых звезд. Поэтому узор постоянно воссоздается и не нарушается. Подобное же положение дел мы наблюдаем поблизости от огороженного участка дорожных работ на крупном шоссе. Плотность машин поблизости от закрытого участка выше, потому что водители вынуждены там притормаживать. Если сделать фотографию шоссе с птичьего полета с большой выдержкой, можно зафиксировать плотность пробки поблизости от места ремонта. Волна плотности машин не связана с каким-то конкретным набором автомобилей, точно так же и спиральный узор не связан с тем или иным «куском» материала диска. Еще одна общая черта – тот факт, что волна плотности движется через диск медленнее движения самих звезд и газа, точно так же как скорость, с которой участок дорожных работ перемещается вдоль шоссе, как правило, гораздо медленнее, чем двигаются отдельные автомобили, которым ничто не мешает.