Тут-то и пригодились возможности тригонометрии и треугольников. Деламбр поднялся на колокольню одной из церквей Дюнкерка и нашел на некотором расстоянии две другие возвышенные точки, которые могли служить двумя другими вершинами треугольника. Ему пришлось измерить расстояние от колокольни до одной из этих точек. Этой тяжелой работы было не избежать. Но после этого, используя измеренные величины двух углов треугольника, он мог вычислить длины двух других его сторон. Для измерения углов ему послужил прибор, который назывался повторительным кругом Борда. Он состоял из двух телескопов, установленных на общей оси, и шкалы для измерения угла между ними. Деламбр направил телескопы на две возвышенные точки, которые он видел с вершины колокольни, и просто записал величину угла между телескопами.

Переместившись в другую вершину треугольника, он измерил второй угол. Затем в игру вступила тригонометрия, позволившая ему найти длины двух недостающих сторон. Но по-настоящему хитроумный шаг был сделан после этого. Одна из этих сторон, длину которой Деламбр теперь знал, стала стороной нового треугольника, который он построил, выбрав следующую возвышенную точку, видную из двух точек, которые он выбрал с колокольни церкви в Дюнкерке. Длину одной из сторон этого нового треугольника он уже знал. Следовательно, чтобы вычислить еще неизвестные длины сторон нового треугольника, ему нужно было только измерить два угла при помощи повторительного круга Борда.

Рис. 4.3. Тригонометрия позволяет вычислить расстояние от C до A и B по известному расстоянию между точками A и B и углам a и b

Это был великолепный шорткат. Ученым, последовательно строившим треугольники на всем пути от Дюнкерка до Барселоны, нужно было измерить лишь одну-единственную сторону одного-единственного треугольника: после этого оставалось измерять только углы при вершинах. Триангуляция открывает поразительный шорткат к геодезическим съемкам. Можно измерять углы, удобно устроившись на возвышенностях, образующих вершины треугольников. Не нужно измерять расстояние шагами или мерными рейками.

Но и в подъеме на возвышенности и наблюдениях в телескопы были свои опасности. Время было не самым подходящим для проведения геодезических съемок с телескопами и прочими непонятными приборами. Вокруг бушевала революция. В ходе измерений, которые оба ученых проводили по всей Франции, поднимаясь на башни и залезая на деревья, на них неоднократно нападали местные жители, принимавшие их за шпионов. В Бель-Ассизе, к северу от Парижа[56], Деламбра арестовали по подозрению в шпионаже. Зачем еще ему понадобилось бы забираться на башни с такими странными приспособлениями? Он попытался объяснить, что занимается измерением размеров Земли по заданию Академии наук, но его перебил пьяный ополченец: «Нет больше никакой кадемии. Теперь все равны. Ну-ка пошли с нами». В конце концов, семь лет спустя, Деламбр и Мешен триумфально вернулись в Париж со своим метром.

Был отлит платиновый стержень, длина которого соответствовала результатам их расчетов, и начиная с 1799 года эталон метра хранился во французских архивах. Но и он в некотором смысле обладал тем же недостатком, что и ярд Генриха I. Хотя его определение было универсальным, ученым по-прежнему было проще съездить во Францию и снять с этого метра копию, которую затем можно было использовать для измерений, чем самостоятельно изменять расстояние от полюса до экватора.

Когда Деламбр и Мешен договаривались о месте встречи, было логично выбрать точку на полпути от Дюнкерка до Барселоны. Но как быть с 15 персонажами нашей головоломки, приведенной в начале этой главы? Где должны встретиться эти 15 человек, если пятеро из них находятся в Лондоне, а остальные десять – в Эдинбурге, и они хотят, чтобы суммарное расстояние, которое они проедут, было наименьшим? Как ни странно, им следует встретиться в Эдинбурге. На первый взгляд может показаться, что, раз соотношение численности этих групп равно 2 к 1, то и встретиться им следует в точке, соответствующей двум третям пути из Лондона в Эдинбург. Но каждая миля, которую шотландцы проезжают от Эдинбурга, прибавляет к общей сумме лишние 10 миль, а англичанам экономит всего 5.

В более общем случае, если эти 15 человек распределены случайным образом по всей линии Лондон – Эдинбург, шорткатом для всех них будет поехать в точку, в которой находится средний человек, восьмой, считая от Лондона (или от Эдинбурга). Исходя из того же принципа, отступление от восьмого человека на каждую милю дает одной группе экономию в 7 миль и добавляет другой лишние 7 миль пути (так что эти изменения взаимно сокращаются), но восьмой человек добавляет к общей сумме одну лишнюю милю.

Представим себе еще более общий случай: пусть 15 человек разбросаны по всему Нью-Йорку – городу, в котором авеню и улицы образуют прямоугольную сетку. Место встречи следует выбрать на авеню или улице, на которой находится восьмой человек, если считать с востока на запад. Но можно выбрать и ту улицу, на которой находится восьмой человек, считая с юга на север. Заметим, что в общем случае это будут два разных человека.

Такого рода анализ важен, когда пытаешься найти оптимальное место для коммутатора сетевых кабелей, если нужно минимизировать длину проводов. Но есть и другая, довольно любопытная стратегия поиска шорткатов в физических и цифровых пространствах, которую использовали на протяжении всей истории человечества и продолжают использовать и в мире нынешних технологий.

Путешественники XV века искали геометрические шорткаты, которые позволили бы им рационально добираться до другого конца света. В повседневной жизни мы часто ищем удобные шорткаты, быстрее приводящие к цели. В ближайшем к моему дому лондонском парке планировщики проложили целую сеть асфальтированных дорожек, позволяющих местным жителям проходить от одного края парка до другого. Вероятно, на бумаге их конфигурация казалась совершенно прекрасной, но на практике оказалось, что это не так. В дополнение к асфальтированным дорожкам появились сухие грунтовые тропинки, пересекающие газоны в тех местах, где людям показалось, что так можно пройти из одного конца парка в другой гораздо быстрее.

Градостроителям часто нравятся асфальтированные дорожки, пересекающиеся под прямыми углами. Однако для удобства пешеходов гораздо удобнее бывают диагонали, позволяющие среза́ть прямые углы. Люди предпочитают перемещаться из точки А в точку Б по гипотенузе. Я снова и снова замечаю тропинки с примятой травой, образовавшиеся там, где пешеходы прокладывают шорткаты к местам своего назначения.

Интересный пример диагонального шортката, срезающего прямые углы, можно найти на Манхэттене. Конфигурация его улиц и авеню, идущих параллельно и перпендикулярно друг другу, – явный признак человеческого планирования. Но есть одна улица, которая, как ни странно, пересекает эту сетку по диагонали: это Бродвей. Он проходит прямо через прямые углы Манхэттена от левой верхней до правой нижней оконечности острова. Оказывается, на самом деле эта улица – древний шорткат, использовавшийся туземными путешественниками еще до появления названия «Манхэттен» и европейских поселенцев. Бродвей возник на месте Уиквесгикской[57] тропы, бывшей, как принято считать, кратчайшим в то время путем между поселениями индейцев, проходившим в обход болот и холмов. Когда на Манхэттене появились европейские поселенцы, они сохранили этот шорткат через весь остров. Тропа, утоптанная ногами путешественников, следовавших из одного конца острова в другой, стала теперь асфальтированной дорогой для автомобилей и пешеходов города.