В 1990 г. американский математик Ву-И Хзянь объявил, что гипотеза Кеплера доказана. Подробности были опубликованы, но сразу появились сомнения. Тот, просмотрев статью в журнале Mathematical Reviews, написал: «Если бы спросили меня, [доказана ли тем самым гипотеза Кеплера] я бы ответил: нет. Надеюсь, что Хзянь дополнит свое сообщение, но мне кажется, что значительная часть работы еще впереди».

Томас Хейлс, посвятивший работе над гипотезой много лет, тоже высказал сомнения в том, что метод Хзяня можно довести до ума. Вместо этого он решил, что настало время всерьез отнестись к подходу, предложенному Тотом. Выросло новое поколение математиков, для которых естественнее обратиться к компьютеру, чем к таблице логарифмов. В 1996 г. Хейлс обрисовал стратегию доказательства, основанную на идее Тота. Эта стратегия требовала определить все возможные способы организации шариков в непосредственной близости от данного шарика. Укладка шариков определяется центрами соответствующих сфер. Для единичных сфер расстояние между центрами должно составлять по крайней мере две единицы. Скажем, что два шарика являются соседями, если их центры разделены расстоянием не более 2,51 единицы. Этот предел следует установить аккуратно: при слишком маленьком расстоянии не хватит места для перестановки шариков и повышения плотности, а при слишком большом количество вариантов расстановки соседних шариков станет просто гигантским. Хейлс выяснил, что 2,51 — это эффективный компромисс. Теперь мы можем представить, как располагаются шарики-соседи, и построить в пространстве бесконечную сеть. Узлами в ней станут центры шариков, а соединяться между собой линиями они будут, если соответствующие шарики — соседи. Эта сеть — своеобразный скелет укладки — содержит всю существенную информацию о соседях каждого шарика.

Для любого шарика мы можем взять непосредственно соседствующие с ним шарики и рассматривать далее только линии между ними, исключив сам первоначальный шарик. В результате получим своего рода клетку, или ячейку, вокруг точки в центре первоначальной сферы. На рис. 23 показаны: (левая пара) соседи шарика в гранецентрированной кубической решетке и соответствующая ячейка; (правая пара) то же самое для особой структуры из шариков — пятиугольной призмы; эта структура оказалась ключевым игроком всего доказательства. Вы видите здесь два плоских пятиугольника, параллельные «экватору» центрального шарика и еще по шарику на каждом полюсе конструкции.

Ячейку можно изобразить как твердое тело с плоскими гранями; при этом плотность укладки вблизи центрального шарика будет определяться геометрией этого тела{21}. Ключевая идея состоит в том, чтобы каждой ячейке поставить в соответствие некое число (назовем его мерой ячейки), которое станет способом оценки плотности упаковки соседей центрального шарика. Мера ячейки — это не собственно плотность; это величина, которая ведет себя лучше и вычисляется проще плотности. В частности, меру ячейки можно найти просто как сумму мер ее граней; с плотностью такой метод не работает. В принципе, множество разных определений меры соответствуют этому условию, но все они сходятся в одном: для гранецентрированной кубической и гексагональной решеток мера, как бы вы ее ни определяли, всегда составляет восемь пунктов. В данном случае пункт равняется вполне конкретному числу:

Так что восемь пунктов на самом деле равняются 0,4429888. Это занятное число вычисляется исходя из особой геометрии гранецентрированной кубической решетки. Ключевое наблюдение Хейлса связывает гипотезу Кеплера с этим числом: если любая ячейка имеет меру восемь или меньше, гипотеза Кеплера верна. Таким образом, фокус доказательства смещается на ячейки и их меры.

Ячейки можно классифицировать по топологии: сколько у них имеется граней с тем или иным числом сторон и как эти грани сочетаются друг с другом. Однако при любой заданной топологии стороны граней ячейки могут быть различной длины. Длина сторон влияет на меру, но топология соединяет множество разных ячеек, и их можно рассматривать в общем. В своем доказательстве Хейлс рассмотрел около 5000 типов ячеек, но основные расчеты велись по нескольким сотням вариантов. В 1992 г. он предложил проект доказательства из пяти этапов:

1. Доказать утверждение в случае, когда все грани ячейки представляют собой треугольники.

2. Показать, что гранецентрированная кубическая и гексагональная укладки имеют более высокую меру, чем любая ячейка с той же топологией.

3. Разобраться со случаем, когда все грани ячейки представляют собой треугольники и четырехугольники, за исключением пятиугольной призмы (это более сложный случай).

4. Разобраться с ячейками, грани которых имеют более четырех сторон.

5. Разобраться с единственным оставшимся случаем — с ячейкой в виде пятиугольной призмы.

Часть 1 была реализована в 1994 г., часть 2 — в 1995 г. По ходу программы Хейлс модифицировал определение ячейки так, чтобы упростить рассуждения (он использовал термин «звезда декомпозиции»). Новое определение не изменило две представленные ячейки и почти не затронуло те части доказательства, которые были уже реализованы. К 1998 г. при помощи новой концепции были завершены все пять предложенных Хейлсом этапов. Часть 5 — хитрый случай с пятиугольной призмой — рассмотрел студент Хейлса Сэмюел Фергюсон.

На всех этапах анализа были масштабно задействованы компьютеры. Хитрость здесь в том, чтобы для каждой локальной сети выбрать такое представление о мере, которое сделало бы вычисления сравнительно несложными. Геометрически замена плотности на меру выглядит как сооружение своеобразной крыши над гладким ландшафтом, максимум которого ищет исследователь. Крыша состоит из нескольких плоских участков (см. рис. 24). Работать с такими формами значительно легче, чем с гладкими поверхностями, поскольку максимумы располагаются в углах, для нахождения которых достаточно решить куда более простые уравнения. Для этого существуют эффективные методы, известные как линейное программирование. Если крыша построена так, что ее пик совпадает с пиком гладкой поверхности, то более простые расчеты, предназначенные для поисков пика крыши, позволят найти не только его, но и пик гладкой поверхности.

У всякого упрощения есть своя цена, и у этого тоже: чтобы найти пик крыши, приходится решать около 100 000 линейных задач. Впрочем, достаточно длинные расчеты, необходимые для этого, вполне по силам современным компьютерам. Когда Хейлс и Фергюсон подготовили свою работу к публикации, в ней оказалось около 250 страниц математического текста и 3 Гбайт компьютерных файлов.