Мэдофф и S & P 500

Мэдофф знал о волатильности все. Но когда дело доходило до сочинения фиктивных чисел, он опирался на не отличающиеся рациональностью инстинкты, присущие всем людям. Очевидно, Мэдофф чувствовал потребность поддерживать месячную рентабельность близкой к объявленной им же средней. Только один раз (в январе и феврале 2003 г.) у него встречаются две отрицательные рентабельности подряд.

Взглянув на график, вы можете сказать, что рентабельность не бывает такой стабильной. В этом случае вы не доверите деньги Мэдоффу – и правильно сделаете. Инвесторов Fairfield Sentry (среди них были самые дальновидные банкиры мира) вряд ли назовешь наивными. Они понимали, что любой руководитель хедж-фонда заявляет, что умеет тем или иным способом ходить по воде. И полагали, что неестественно низкая волатильность Мэдоффа объяснялась особенностями его успешного алгоритма – каким бы тот ни был.

Все пошло наперекосяк в августе 2008 г. Компания JPMorgan Chase изъяла из фонда Fairfield Sentry 250 миллионов долларов. Официальная версия гласила, что они «были обеспокоены недостатком прозрачности». Тем временем Мэдофф и Fairfield Sentry создавали новый фонд. Он должен был увеличить количество заемных средств, чтобы достичь рентабельности 16 процентов. Fairfield Sentry якобы предупреждал инвесторов, что всякий, кто осмелится забрать деньги, и всякий, кто сделает глупость и не инвестирует в новый фонд, понесет суровое наказание: его лишат возможности вкладывать деньги в любой из будущих фондов Мэдоффа.

Мэдофф был арестован 11 декабря 2008 г.

Месячная рентабельность фонда Fairfield Sentry указывалась с точностью до сотых долей процента. Это означает, что в нашем распоряжении всего две или три значащие цифры. Округление уничтожает информацию (в данном случае это означает, что Мэдоффу не было нужды придумывать эту информацию). Несмотря на это, можно заметить, что месячная рентабельность Мэдоффа выглядит необычно.

Давайте начнем с первых цифр – теста, в котором закон Бенфорда проявляется нагляднее всего. Нигрини рекомендует пропускать отрицательные величины (или анализировать их отдельно), поскольку при фальсификации стоит задача минимизировать убытки. Я также исключил несколько случаев, когда числа оказывались меньше двух значащих цифр. Остается 190 величин, двух– и трехзначные положительные числа. Столбики гистограммы отображают реальное распределение цифр, а сплошная линия – идеальное распределение Бенфорда.

Первые цифры: рентабельность Fairfield Sentry

Сорок процентов показателей рентабельности начинаются с цифры 1. Это гораздо больше 30 процентов, предсказываемых законом Бенфорда. Цифры от 2 до 5 представлены недостаточно, а цифры 7 и 8 с избытком. Эти различия статистически значимы.

Мэдофф заявлял о рентабельности приблизительно 11 процентов в год. Значит, месячная рентабельность должна быть близка к 1 проценту. Эти числа были необыкновенно стабильны и никогда слишком сильно не отклонялись от среднего значения. Если принять все за чистую монету, то следует ожидать непропорциональной доли месяцев с рентабельностью в диапазоне от 0,70 до 1,99 процента. Это создаст избыток первых цифр 7, 8, 9 и 1, а также недостаток всех остальных.

Именно такую картину мы и наблюдаем – за одним-единственным исключением. Первая цифра 9 почти точно соответствует распределению Бенфорда. Это контрастирует с повышенной по сравнению с законом Бенфорда частотой появления последних цифр.

Наиболее вероятное объяснение – манипуляция. Подобно всем остальным, Мэдофф понимал, что рентабельность более 1,00 процента воспринимается как гораздо большая, чем например 0,99 процента. Месячная рентабельность, гипотетически начинающаяся с цифры 9, была повышена до >1,00+ процента. Другое правдоподобное объяснение придумать невозможно, даже если вы поверите утверждению Мэдоффа о фантастически низкой волатильности. По какой еще причине стабильная рентабельность будет перескакивать через числа, начинающиеся на 9?

Две последние цифры: рентабельность Fairfield Sentry

Теперь обратимся к двум последним цифрам месячной рентабельности. Гистограмма, иллюстрирующая распределение двух последних цифр, похожа на неровный штакетник с несколькими отсутствующими планками. Некоторые пары цифр встречаются гораздо чаще остальных. Самый высокий пик на гистограмме – 86. Такими были последние две цифры восьми показателей месячной рентабельности фонда Fairfield Sentry. Три пары встречаются по шесть раз: 14, 26 и 36.

Такая особенность наблюдается при неосознанном повторении придуманных чисел. Этот вывод становится еще более убедительным, если взглянуть на повторяющиеся пары цифр: 86, 14, 26 и 36. Все, кроме одной, оканчиваются на 6.

На самом деле девять пар последних цифр оканчиваются на 6, а всего они встречаются 33 раза. В два раза чаще, чем ожидается.

Рентабельность Fairfield Sentry также можно проверить при помощи тестов на сдвоенные последние цифры и на убывающие пары. При общем количестве 190 чисел следует ожидать приблизительно 19 сдвоенных цифр в качестве последних. В реальности их 24 – больше ожидаемого (не забывайте, что мошенники обычно избегают сдвоенных цифр). Единственное, что вызывает легкое подозрение, – пара 55, не любимая фальсификаторами, не встречается вообще.

Убывающих пар (10, 21, 32…) всего девять, и встречаются они 17 раз, что в точности соответствует ожиданиям.

Другими словами, показатели рентабельности Fairfield Sentry, похоже, были подправлены так, чтобы в большем числе месяцев превысить 1 процент. Подозрительным также выглядит большое количество чисел, оканчивающихся на 6 и 86. Два других признака придуманных чисел отсутствуют. В целом эти результаты не доказывают, что показатели рентабельности были придуманы, однако опубликованные числа доверия не внушают.

Как потенциальный инвестор вы в первую очередь должны решить, достаточно ли комфортно вы будете себя чувствовать, вкладывая деньги, а не доказывать, что Мэдофф мошенник. Если вы окажетесь в подобной ситуации, разумно будет попросить более подробные показатели рентабельности, с бо́льшим количеством значащих цифр. Такой запрос не несет в себе угрозы конфиденциальности в отношении алгоритмов торгов. Если менеджер ответит отказом, следует подумать, нужно ли доверять деньги тому, кто даже не хочет сообщить инвесторам точную цифру рентабельности.