Раньше у вас было несколько коррелирующих между собой измерений. Однако четыре новых измерения представляют собой четыре составных признака, которые не коррелируют друг с другом. А отсутствие корреляции означает, что каждое новое измерение предоставляет новую, непересекающуюся информацию. По сути, мы разбиваем содержащуюся в наборе данных информацию на отдельные измерения, как указано в строке «% информации для каждой компоненты». Используя всего лишь четыре новых признака, мы можем сохранить 91 % информации, содержащейся в исходном наборе данных.

С помощью весов, указанных на рис. 8.3, 30 исходных показателей физической подготовки каждого спортсмена можно преобразовать в такие главные компоненты, как «Сила», «Скорость», «Выносливость» и «Здоровье», используя линейные комбинации. Например, сила спортсмена рассчитывается по следующей формуле:

Сила = 0,6*(количество отжиманий) + 0,5*(количество повторений становой тяги) + 0,4*(количество приседаний) + (незначительный вклад остальных признаков)

Значения (веса) 0,6, 0,5 и 0,4 – результат АГК. Мы просто решили их визуализировать.

Выполнение этой серии вычислений для всех спортсменов дает нам второй результат применения алгоритма АГК, показанный на рис. 8.4. Это новый набор данных того же размера, что и исходный, только на этот раз максимально возможное количество информации было сосредоточено в первой группе некоррелированных главных компонент (также известных как составные признаки). Обратите внимание на резкое сокращение величины вклада главных компонент, начиная с пятой.

Рис. 8.4. Алгоритм АГК создает новый набор данных того же размера, что и исходный, где столбцы представляют собой составные признаки, называемые главными компонентами

Таким образом, вместо использования 30 переменных для объяснения 100 % информации, содержащейся в исходном наборе данных, набор данных, показанный на рис. 8.4, может объяснить 91 % этой информации с помощью всего лишь четырех признаков. Это позволяет нам проигнорировать 26 столбцов. Вот это понижение размерности! Вооружившись этим набором данных, вы можете выяснить, кто из спортсменов самый сильный, самый быстрый или обладает любой комбинацией этих признаков. Визуализировать и интерпретировать данные стало намного проще.

Анализ главных компонент. Резюме

Давайте сделаем шаг назад, чтобы кое-что прояснить.

Во-первых, когда речь идет о столбце в наборе данных, хорошим синонимом информации является дисперсия (мера разброса). Подумайте об этом так. Предположим, что мы добавили новый столбец в набор данных о спортсменах, показанный на рис. 8.2, под названием «Любимая марка обуви», и каждый спортсмен ответил: «Nike». В таком случае в этом столбце не было бы никаких вариаций, позволяющих отличить одного спортсмена от другого. Нет вариации = нет информации.

Основополагающая идея АГК – взять всю содержащуюся в наборе данных информацию (множество столбцов) и сжать как можно больше этой информации в как можно меньшее количество отдельных измерений (меньшее количество столбцов). Для этого алгоритм определяет, как именно каждое из исходных измерений коррелирует с другими. Корреляция, существующая между многими измерениями, объясняется тем, что они измеряют одну и ту же основополагающую вещь. В этом смысле у нас есть лишь несколько истинных измерений данных, охватывающих большую часть информации, содержащейся в наборе данных. Математика, лежащая в основе АГК, по сути «вращает» измерения, сводя их к меньшему количеству главных компонент и позволяя нам рассматривать их без потери большого количества информации.

Это напоминает процесс фотографирования. Например, вы можете сфотографировать великие пирамиды Египта с бесчисленного количества ракурсов, однако некоторые ракурсы оказываются более информативными, чем другие. Если вы сделаете снимок с помощью дрона сверху, то пирамиды будут выглядеть как квадраты. Если вы сфотографируете их, стоя точно напротив одной из граней, они будут выглядеть как треугольники. На какой угол необходимо повернуть камеру, чтобы зафиксировать максимальное количество информации при сведении трехмерного мира Гизы в двухмерную фотографию, способную произвести впечатление на друзей? Оптимальный ракурс можно найти с помощью АГК.

Потенциальные ловушки

Теперь, когда вы познакомились с основами АГК, мы должны признать, что в реальном мире наборы данных никогда не удается свести к столь же четко различимым главным компонентам, как в примере со спортсменами.

Из-за неупорядоченности данных результирующие главные компоненты зачастую бывают лишены ясного значения и описательных названий. Мы по опыту знаем, что в погоне за броским названием для главной компоненты люди зачастую создают описание несуществующих данных. Как главному по данным, вам не следует принимать уже готовые определения главных компонент. Когда кто-то представляет вам уже названные компоненты, постарайтесь оспорить их определения, выяснив, какие именно уравнения лежат в основе той или иной группировки.

Более того, АГК не сводится к исключению неважных или неинтересных переменных. Мы часто видим, как люди совершают эту ошибку. Главные компоненты генерируются на основе всех исходных признаков. Для этого ничего не удаляется. В примере со спортсменами каждый исходный признак может быть сгруппирован с несколькими другими для получения четырех главных компонент: Сила, Скорость, Выносливость и Здоровье. Помните о том, что набор данных, полученный в результате применения алгоритма АГК, по размеру аналогичен исходному. Аналитик должен сам решить, когда отбрасывать неинформативные компоненты, поскольку одного правильного способа сделать это просто не существует. Это означает, что, когда вам представляют результаты АГК, вам следует выяснить, как именно те, кто его проводил, решили, сколько компонентов стоит оставить.

Наконец, АГК основывается на предположении о том, что высокая дисперсия свидетельствует о присутствии в переменных чего-то интересного или важного. В некоторых случаях это предположение оказывается оправданным – но не всегда. Например, признак может иметь высокую дисперсию и при этом не иметь особого практического значения. Представьте, что мы добавили к данным о спортсменах такой признак, как количество жителей в родном городе каждого из них. Несмотря на большие различия, этот признак никак не связан с данными об их спортивных результатах. Поскольку алгоритм АГК стремится отыскать существенные вариации, он может ошибочно принять этот признак за нечто важное, хотя на самом деле это не так.

Кластеризация

Группы признаков (столбцы) могут рассказать одну историю, как в случае с АГК, а группы наблюдений (строки) – другую. Именно здесь в игру вступает кластеризация[78].

По нашему опыту, кластеризация – самая интуитивно понятная техника работы с данными, потому что ее название точно отражает ее суть (в отличие от названия «Анализ главных компонент»). Если бы ваш начальник поручил вам разделить спортсменов на группы, вы бы поняли задачу. При анализе данных, представленных на рис. 8.5, у вас возник бы ряд вопросов – например, относительно возможного количества групп и способов их категоризации. Тем не менее у вас было бы от чего оттолкнуться. Например, вы могли бы сформировать одну группу из наиболее сильных