Фердинанд Швейкарт исследовал «астральную геометрию», развивая случай с острыми углами из работы Саккери. Он отослал рукопись Гауссу, но так и не опубликовал ее. Он посоветовал своему племяннику Францу Тауринусу продолжить эту работу, и в 1825 г. Тауринус опубликовал «Теорию параллельных прямых». В его «Первых элементах геометрии» 1826 г. утверждается, что случай тупых углов тоже приводит к разумной неевклидовой «логарифмически-сферической» геометрии. Работа не привлекла никакого внимания, и автор в отчаянии сжег оставшиеся экземпляры. Один из учеников Гаусса Фридрих Вахтер тоже писал про аксиому о параллельных – и тоже не был замечен.

Чтобы дополнительно запутать всю эту историю, Гаусс первым, еще в 1800 г., понял, что проблема аксиомы о параллельных связана не с реальным пространством, а с внутренней логикой Евклидовой геометрии. Линии, начерченные по линейке на листе бумаги, не в состоянии прояснить ответ. Может быть, если бы вы взяли достаточно большой лист бумаги, они встретились бы через миллион километров. А может быть, если вы построите множество точек, равноудаленных от какой-то определенной прямой, то результирующая линия окажется не прямой. Разбираясь с этой возможностью, Гаусс, вполне может быть, надеялся, подобно Саккери, получить в конечном итоге противоречие. Вместо этого он получил растущее число элегантных, убедительных, взаимно непротиворечивых теорем и к 1817 г. был убежден в возможности логически непротиворечивых геометрий, отличных от Евклидовой. Но он ничего не публиковал на эту тему, заметив в одном письме 1829 г., что «может пройти очень долгое время, прежде чем я опубликую свои исследования по этому вопросу: мало того, этого может и не произойти при моей жизни, ибо я опасаюсь “криков невежд”».

Вольфганг Бойяи, будучи старым другом Гаусса, написал великому математику с просьбой прокомментировать (положительно, как он надеялся) эпохальное исследование сына. Ответ Гаусса разрушил его надежды:

Все очень хорошо, но совершенно несправедливо, ведь Гаусс ничего по этому вопросу не публиковал. Конечно, отозваться с похвалой о радикальных идеях Яноша значило бы навлечь на свою голову «крики невежд». Похвалить в частном порядке, приватно, значило уклониться от ответа – и Бойяи-старший, и Гаусс это прекрасно понимали.

Лобачевский не знал, что по крайней мере два математика – Гаусс и Бойяи – уже занимались этой проблемой. Аксиома о параллельных подразумевает существование единственной прямой, параллельной к заданной и проходящей через заданную точку, и для начала он рассмотрел возможность того, что это утверждение ошибочно. Лобачевский заменил его утверждением о существовании множества таких прямых, чья «параллельность» означала, что прямые «не пересекаются, как бы далеко их ни продолжили». Он подробно проработал следствия из такого допущения. Он не доказал, что его геометрическая система логически непротиворечива, но не сумел и привести рассуждения к какому-нибудь противоречию; более того, убедился, что никакого противоречия здесь возникнуть не может. Мы сегодня называем его систему гиперболической геометрией, и она соответствует случаю острых углов Саккери. Тупые углы приводят к эллиптической геометрии, очень похожей на сферическую. Бойяи исследовал оба случая, тогда как Лобачевский ограничился только гиперболическим вариантом.

* * *

Потребовалось немало времени, чтобы математики осознали правомерность неевклидовой геометрии и постигли ее значение. Процесс признания начался с выхода из печати французского перевода работы Лобачевского, сделанного Жюлем Оуэлем в 1866 г., через 10 лет после смерти автора. В глаза пытливому читателю бросалась одна важная вещь: отсутствие доказательства того, что отрицание аксиомы о параллельных никогда не приведет к противоречию. Понимание пришло несколько позже: на самом деле существует три непротиворечивые геометрии, удовлетворяющие всем остальным аксиомам Евклида. Во-первых, это сама Евклидова геометрия; во-вторых, это эллиптическая геометрия, где параллельные прямые попросту не существуют; и в-третьих, это гиперболическая геометрия, где параллельные прямые существуют, но не единственны.

Доказательство непротиворечивости оказалось проще, чем можно было ожидать. Неевклидова геометрия может быть реализована как естественная геометрия поверхности постоянной кривизны: положительной для эллиптической геометрии, отрицательной – для гиперболической. Евклидова геометрия представляет собой переходный случай нулевой кривизны. Здесь «прямая» интерпретируется в «геодезическом» смысле, как кратчайшее расстояние между двумя точками. В такой интерпретации все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных, могут быть доказаны при помощи Евклидовой геометрии. Если бы в эллиптической или гиперболической геометрии имелась хоть одна логическая нестыковка, ее можно было бы непосредственно перевести в соответствующую логическую нестыковку в Евклидовой геометрии поверхностей. Но если Евклидова геометрия непротиворечива, то непротиворечивы и эллиптическая, и гиперболическая геометрии.

В 1868 г. Эудженио Бельтрами предложил конкретную модель гиперболической геометрии: внутренняя геометрия поверхности, известной как псевдосфера и имеющей постоянную отрицательную кривизну. Он интерпретировал этот результат как наглядное подтверждение того, что на самом деле гиперболическая геометрия не есть нечто новое; это просто Евклидова геометрия, приспособленная к соответствующей поверхности. При этом он упустил из виду более глубокий логический вывод: эта модель доказывает непротиворечивость гиперболической геометрии, так что аксиома о параллельных не может быть выведена из других аксиом Евклида. Оуэль понял это в 1870 г., когда перевел статью Бельтрами на французский.

Подобрать модель для эллиптической геометрии было проще. По существу, это геометрия больших окружностей на сфере, с одной оговоркой. Большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, а не в одной точке, и потому не удовлетворяют остальным аксиомам Евклида. Чтобы исправить ситуацию, достаточно переопределить «точку» как «пару диаметрально противоположных точек» и рассматривать большую окружность как пару диаметрально противоположных полуокружностей. Это пространство – формально сфера с попарно отождествленными противоположными точками – обладает постоянной положительной кривизной, унаследованной от сферы.

В дисковой модели гиперболической геометрии Пуанкаре прямая (черная) может иметь бесконечно много параллельных прямых (три из них показаны серым), проходящих через заданную точку. Граница круга не рассматривается как часть этого пространства