Следующую головоломку придумал Ли Сэллоус, мастер математических головоломок со словами, чьи работы также стали известны широкой аудитории благодаря Мартину Гарднеру. Я считаю этот невероятно изобретательный, подсчитывающий сам себя кроссворд настоящим произведением искусства.

117. КРОССВОРД, ПОДСЧИТЫВАЮЩИЙ САМ СЕБЯ

Этот кроссворд на удивление самодостаточен: в нем задействованы всего 10 букв, каждой из которых соответствует своя строка.

Для того чтобы помочь решить его, объясню, как восстановить первые три буквы. В строке 8 по вертикали пять пустых клеток, следовательно, она должна иметь вид ONE*, где * – это одна буква. (Помните: во всех строках с числами больше единицы должно быть минимум шесть пустых клеток из-за дополнительной буквы S для обозначения множественного числа.)

Теперь заполните кроссворд самостоятельно.

Если кроссворд может подсчитывать себя сам, то может ли подсчитать себя число? И как?

Вот один из способов. Допустим, число 1210 подсчитывает само себя, поскольку его первая цифра (1) указывает, сколько в нем цифр 0; вторая (2) говорит, сколько в нем цифр 1; третья (1) подсказывает, сколько в числе цифр 2; а четвертая (0) – сколько в этом числе цифр 3. Способность числа 1210 описывать само себя станет абсолютно очевидной, если записать его в виде таблицы.

Каждая цифра числа во второй строке указывает, сколько раз расположенная сверху цифра встречается во второй строке.

Такие числа, как 1210 (в которых крайняя цифра слева указывает, сколько в данном числе цифр 0, вторая слева – сколько в нем цифр 1, третья слева – сколько цифр 2 и т. д.), называются автобиографическими. Существует всего два таких четырехзначных числа – это 1210 и 2020.

Единственное пятизначное автобиографическое число – 21 200.

В этом числе две цифры 0, одна цифра 1, две цифры 2, нет цифр 3 и 4.

Поняли принцип? Значит, вы готовы решить следующую задачу.

118. АВТОБИОГРАФИЯ В ДЕСЯТИ ЦИФРАХ

Это число будет расположено во второй строке представленной ниже таблицы. Каждая его цифра должна означать частоту встречаемости верхней цифры во второй строке.

Число, в котором есть все десять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0 (например, 1 234 567 890), называется панцифровым. (Крайняя цифра слева панцифрового числа должна отличаться от нуля.)

119. ПАНЦИФРОВОЕ СТОЛПОТВОРЕНИЕ

Интересный факт: все десятизначные панцифровые числа делятся на 3. Мы можем продемонстрировать это, применив признак делимости на 3, который вы, возможно, помните еще со школьных времен. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Десятизначное панцифровое число должно содержать каждую цифру только один раз. Таким образом, в результате сложения мы получим 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45, а это число делится на 3. Следовательно, все панцифровые числа делятся на 3. Изумительно!

А вот менее известные признаки делимости:

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Возможно, вы захотите подумать над тем, почему эти два признака верны. А может, и нет. Как бы там ни было, они пригодятся вам в следующей головоломке.

120. ПАНЦИФРОВОЕ И ПАНДЕЛИМОЕ ЧИСЛО

Эта задача поразительно изящная, поскольку ее условие подразумевает наличие единственного решения. Вам понадобится калькулятор, что, впрочем, не испортит удовольствия при поиске ответа.