Взаимосвязь между угловым моментом частицы и нашим способом сочетания часов известна как теорема Паули, или теорема о связи спина со статистикой. Она выводится в том случае, когда формулировка квантовой теории согласуется со специальной теорией относительности Эйнштейна. Точнее говоря, это прямой результат выполнения причинно-следственных законов. К сожалению, выведение теоремы о связи спина со статистикой лежит за пределами уровня этой книги – как, честно говоря, и многих других. В «Фейнмановских лекциях по физике» автору пришлось сказать следующее:

Вспомнив о том, что Ричард Фейнман вынужден был написать подобное в учебнике университетского уровня, мы можем только поднять руки и сдаться. Но правило само по себе довольно простое, и вам лишь придется поверить нам на слово в его доказательстве: для фермионов поворот необходим, а для бозонов – нет. Судя по всему, поворот служит причиной принципа Паули, а следовательно, и структуры атомов, и теперь, наконец, мы можем дать очень простое объяснение после всей предыдущей кропотливой работы.

Представьте, что точки А и В на рис. 7.3 движутся все ближе и ближе друг к другу. Когда они оказываются совсем близко, циферблат 1 и циферблат 2 должны стать примерно одного размера и показывать примерно одинаковое время. Когда А и В перекрываются, то и циферблаты должны быть идентичными. Это очевидно, поскольку циферблат 1 соответствует частице 1, заканчивающей движение в точке А, а циферблат 2 в этом конкретном случае показывает точно такое же время, поскольку точки А и В перекрываются. Тем не менее циферблатов по-прежнему два, и мы по-прежнему должны их сложить. Но тут и возникает тонкость: для фермионов один из циферблатов должен быть перед сложением повернут на 180°. Это значит, что циферблаты всегда будут показывать точно противоположное время для случая совпадения точек А и В (если на одном будет 12 часов, то на другом 6 часов), так что при сложении всегда будет получаться циферблат нулевого размера. Это замечательный результат, поскольку он означает, что вероятность нахождения двух электронов в одной и той же точке всегда будет равна нулю: законы квантовой физики побуждают их избегать друг друга. Чем ближе они друг к другу, тем меньше получающийся циферблат и, соответственно, вероятность такой близости. Это один из способов формулировки знаменитого принципа Паули: электроны избегают друг друга.

Сначала мы собирались показать, что ни одна пара идентичных электронов не может находиться на одном и том же энергетическом уровне в атоме водорода. Мы пока еще окончательно этого не доказали, но замечание о том, что электроны избегают друг друга, разумеется, имеет последствия для атомов и понимания того, почему же мы не проваливаемся сквозь землю. Теперь становится понятно не только то, что электроны в нашей обуви отталкиваются от электронов земной поверхности по правилу отталкивания одноименных зарядов, но и то, что они отталкиваются, потому что естественным образом избегают друг друга в соответствии с принципом Паули. Оказывается, согласно доказательству Дайсона и Ленарда, именно это избегание и не позволяет нам провалиться сквозь землю. Оно же заставляет электроны занимать разные энергетические уровни внутри атомов, определяя их строение, и в итоге служит причиной разнообразия химических элементов, которое мы наблюдаем в природе. Определенно, этот физический закон имеет очень важные для повседневной жизни последствия. В последней главе книги мы расскажем также, как принцип Паули играет ключевую роль в предотвращении гравитационного коллапса некоторых звезд.

В завершение мы должны объяснить, как из того, что ни одна пара электронов не может находиться в одном и том же месте в одно и то же время, следует, что ни у одной пары электронов в атоме не может быть одинаковых квантовых чисел, то есть два электрона не могут иметь одинаковую энергию и спин. Возьмем два электрона с одинаковым спином и докажем, что они не могут пребывать на одном и том же энергетическом уровне. Если бы они находились на одном энергетическом уровне, то каждый по необходимости описывался бы совершенно одинаковым набором циферблатов, распределенных в пространстве (в соответствии с применимой здесь стоячей волной). Для каждой пары точек в пространстве – обозначим их X и Y – есть два циферблата. Циферблат 1 соответствует «электрону 1 в точке Х» и «электрону 2 в точке Y», а циферблат 2 соответствует «электрону 1 в точке Y» и «электрону 2 в точке Х». Из предыдущих рассуждений мы знаем, что эти циферблаты нужно сложить после перевода одного из них на 6 часов, чтобы вычислить вероятность нахождения одного электрона в точке Х, а другого в точке Y. Но если два электрона обладают одинаковой энергией, то перед решающим дополнительным поворотом циферблаты 1 и 2 должны быть идентичны. После поворота же они будут показывать противоположное время и, как и раньше, при сложении образуют циферблат, не имеющий размера. Это верно для любого конкретного положения точек Х и Y, так что вероятность найти пару электронов в одной и той же конфигурации стоячей волны, то есть обладающих одной и той же энергией, равна нулю. Именно этим в конечном счете и определяется стабильность атомов в нашем организме.

До этого времени мы уделяли пристальное внимание квантовой физике изолированных частиц и атомов. Мы выяснили, что электроны находятся внутри атомов в определенных энергетических состояниях, известных как стационарные состояния, хотя атом может быть в суперпозиции нескольких подобных состояний. Мы определили также, что электрон может перейти из одного энергетического состояния в другое с сопутствующим испусканием фотона. Испускание фотона, таким образом, свидетельствует о наличии энергетических состояний у атома; мы повсюду видим характерные цвета атомных переходов. Однако наш физический опыт связан с восприятием множества сгруппированных между собой атомов, и уже поэтому пора начать разбираться с тем, что происходит, когда атомы группируются.

Размышления над сочетаниями атомов поведут нас к химическим связям, разнице между проводниками и изоляторами и в конце концов к полупроводникам. Эти интересные материалы обладают свойствами, которые можно использовать для создания мельчайших устройств, способных производить базовые логические операции. Такие устройства называются транзисторами, и при объединении многих миллионов транзисторов можно создать микрочипы. Как мы увидим, теория транзисторов имеет квантовую природу. Трудно понять, как можно было бы изобрести и использовать транзисторы без квантовой теории, а современный мир без них уже нельзя представить. Это замечательный пример научной проницательности: мы столько времени описывали противоречащие интуиции подробности исследований природы, движимых чистым любопытством, и вот оказывается, что они привели к революции в повседневной жизни. Уильям Шокли, один из изобретателей транзистора и глава Группы физики твердого тела в компании Bell Telephone Laboratories, прекрасно показал, чем чреваты попытки классифицировать и контролировать научные знания[35]: