Фи и золотое сечение

Греческая буква Фи (φ) была впервые использована для обозначения золотого сечения в 1909 году американским математиком Марком Барром в честь Фидия, древнегреческого скульптора; многие люди считали, что он использовал золотое сечение в своих работах.

Одни из самых интересных математических фигур появляются в игрушках. Например, вы можете узнать, что такое эпитрохоиды, а также гипотрохоиды и рулетты, если повозитесь со спирографом. Если у вас когда-нибудь была возможность поиграть с этой игрушкой, то вы знаете, что она обычно состоит из двух полых внутри пластиковых кругов, с зубчатым внутренним или внешним краем. В комплекте также есть несколько пластиковых колес с зубчатым внешним краем и несколькими отверстиями внутри колеса, куда вставляется кончик ручки. Вы кладете один из пластиковых кругов на лист бумаги с картонной подложкой, затем выбираете колесо, вставляете ручку в отверстие и кладете колесо к внешнему или внутреннему зубчатому краю круга. Потом вы начинаете двигать колесо ручкой по кругу, тем самым на бумаге остаются замысловатые геометрические узоры.

Вот где появляются странные математические термины. Если вы кладете колесо у внешнего края круга, то узор представляет собой эпитрохоиду. Он выглядит как серия кривых, которая устремляется сначала к краю круга, а потом обратно. С другой стороны, если вы кладете колесо внутрь круга, то узор представляет собой гипотрохоиду, он может напоминать морскую звезду, звезду или пятиугольник с вогнутыми сторонами. Обе кривые являются примером рулетты, кривой, которая образуется, когда фигура перекатывается по неподвижной поверхности и точка на этой фигуре оставляет вихляющую линию. (Фигура не обязательно должна быть кругом.)

Роторно-поршневой двигатель Ванкеля

Корпус, в котором находится роторно-поршневой двигатель Ванкеля – движущая сила некоторых автомобилей Mazda, имеет форму эпитрохоиды. Этот двигатель был создан Феликсом Ванкелем, немецким инженером, который получил свой первый патент за устройство в 1929 году. В отличие от поршневых двигателей, двигатель Ванкеля имеет лишь одну движущуюся часть: вращающаяся часть имеет форму треугольника со слегка закругленными краями.

В данный момент огромная группа телескопов к северу от Сан-Франциско находится в поисках признаков внеземных цивилизаций в небе. Названная в честь Пола Аллена, бывшего исполнительного директора Microsoft, который способствовал его изобретению, антенная решетка Аллена содержит 42 радиотелескопа, каждый из которых имеет диаметр 6,1 метра. (Существуют планы собрать 350 таких телескопов.) Телескопы использует SETI, организация в Маунтин-Вью в Калифорнии, которая занимается поиском внеземного разума. Когда все отдельные телескопы будут на месте, они будут покрывать территорию в 1 гектар, или 10 000 квадратных метров.

Помимо того что математика вовлечена в разработку таких больших приспособлений и в обработку всех сигналов, которые будут собирать антенные решетки Аллена, математика также внесла свой вклад в общую идею, стоящую за всем проектом. В 1961 году доктор Фрэнк Дрейк, один из основателей SETI, создал уравнение, которое охватывает все элементы, какие должны приниматься во внимание во время поиска внеземных цивилизаций, способных генерировать сигналы, которые мы можем обнаружить на Земле. Вот уравнение Дрейка:

Что касается элементов, вот их определения:

N – количество цивилизаций в Млечном Пути, генерирующих электромагнитное излучение, которое могут обнаружить люди;

R* – скорость формирования звезд, которые могут содержать разумную жизнь;

fp – доля этих звезд, которые имеют планетарные системы;

ne – количество планет вокруг каждой звезды, на которой есть жизнь;

fl – доля этих планет, на которых действительно есть жизнь;

fi – доля планет, на которых есть жизнь, на которой есть также разумная жизнь;

fc – доля цивилизаций, генерирующих сигналы, которые мы можем обнаружить;

L – длина времени, за которое эти цивилизации испускают эти сигналы в космос.

В этом случае использование языка математики помогает формулировать групповое мышление и прояснять параметры проекта.

Парадокс Ферми

Физик Энрико Ферми (1901–1954) интересовался внеземными цивилизациями, а также помог в развитии того, что сейчас известно как парадокс Ферми. Согласно вычислениям Ферми, внеземные существа должны были уже установить с нами контакт. А так как они этого не сделали, Ферми задал знаменитый вопрос: «Ну, и где они в таком случае?»

Есть ли что-нибудь интересное с математической точки зрения, скажем, в мире насекомых? Если это насекомое – периодическая цикада, то есть без сомнения. Это насекомое живет в лесах восточной части США и принадлежит к роду Magicicada, в который входит семь видов. Вы могли слышать их летом, когда они цепляются за стволы деревьев и ветки и жужжат, чтобы привлечь потенциальных партнеров.

Математически важным аспектом этих цикад является их необычный жизненный цикл. Большую часть жизни периодические цикады живут под землей, до достижения половозрелости, питаются ксилемой, жидкостью в деревьях, которая содержит питательные вещества. Но после определенного количества лет цикада выходит из почвы, сбрасывает свой экзоскелет и, как бабочка, превращается во взрослую особь с крыльями, которая готова к спариванию. Когда именно эти цикады выходят из-под земли, зависит от вида. Это знаменательное событие происходит каждые 13 или 17 лет. Но это не просто цифры: 13 и 17 являются простыми числами, которые делятся только на себя и на 1; другими примерами простых чисел являются 5 и 11 (см. главу 4.2).

Почему жизненный цикл цикад состоит из простых чисел? Некоторые ученые предполагают, что цикады разработали такой цикл для того, чтобы перехитрить хищников. Чтобы увидеть, как простые числа защитят цикад от хищников, представьте, что цикады выходили бы из-под земли каждые 6 лет. Так как 6 делится на 1, 2, 3 и 6, жизненный цикл любого животного, который содержал бы эти числа, мог совпасть с жизненным циклом цикад, оставляя каждое новое поколение цикад уязвимым к атакам. Но так как цикады появляются по расписанию, которое включает простые числа, то вероятность, что другое молодое животное выйдет на охоту за едой тогда, как новый выводок цикад достигает половозрелости, снижена. Периодические цикады в сущности могут использовать простые числа в качестве защитного механизма.