они могут влиять на случайность каким-то образом. У меня есть товарищ, который думает, что чаще других выбрасывает шестерки на кубиках. Если с таким подходом браться за освоение теорвера, будет беда.

9.3. История становления

Первые задачи вероятностного характера возникли в азартных играх – в кости, в карты, в расшибалочку. Французский священник 13-го века Ришар де Фурниваль подсчитал все возможные суммы очков после броска трех костей – кому как не священнику играть в кости – и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число можно рассматривать как первую вычислимую меру ожидаемости события – по-нашему, как раз вероятности.

До Фурниваля, да и после него тоже, эту меру часто подсчитывали неверно, указывая, например, что суммы в 3 и 4 очка равновероятны. Ведь оба могут получиться как бы «только одним способом»: по результатам броска «три единицы» и «двойка с двумя единицами» соответственно. Де Фурниваль не догонял, что хотя три единицы и в самом деле получаются только одним способом: 1+1+1, двойку с двумя единицами можно выкинуть целыми тремя способами: 1+1+2, 1+2+1 и 2+1+1, так что эти события вовсе не равновероятны. Сумма в четыре очка выпадает в три раза чаще, хотя это тоже случается редко, в среднем лишь каждый 72-й бросок. Аналогичные ошибки неоднократно встречались и в дальнейшей истории. Самое странное (для меня, по крайней мере): почему никому не пришло в голову кинуть кубики много-много раз и записать результаты? Лишний раз напомню: очевидное не всегда очевидно.

Экстравагантный математик 16-го века Джероламо Кардано прославился тем, что вылечился от импотенции, после чего родил троих детей. Сильно впечатлился, стал и сам врачевать, а так как человеком был умным и странным, лечил он хорошо и нажил себе множество недругов. Его сын тоже прославился, так как дико отравил свою жену, из-за чего папаша окончательно свихнулся, составил гороскоп Иисуса Христа и попал в застенки инквизиции. Посвятил анализу игры содержательную книженцию «Книга об игре в кости» (1526 год, опубликована посмертно).

Кардано провел уже безошибочный анализ для значений суммы очков трех костей и указал для разных событий ожидаемое значение доли «благоприятных» событий: например, при бросании 3 кубиков доля случаев, когда значения всех трех совпадают, равна 6/216 или 1/36. Вроде бы и очевидно, что их всего шесть – три единицы, три двойки, ну и так далее, всего 6 граней, но до этого (да и после) какие-то были проблемы у людей с этой концепцией.

Именно Джероламо Кардано предложил формулировку вероятности – что это число благоприятных исходов, деленное на число всех возможных исходов. Кардано сделал еще одно весьма проницательное замечание: при небольшом числе игр реальное количество исследуемых событий может сильно отличаться от теоретического, но чем больше игр в серии, тем это различие меньше. По существу, Кардано вплотную подошел к понятию вероятности и заявил о законе больших чисел.

Голландец Кристиан Гюйгенс[37] был довольно продвинутый чел: в 17-м веке знал 5 языков, играл на скрипке, лютне и клавесине, в 13 лет построил себе токарный станок. В 13 лет! У нас дети вон ходят на коньки или в бассейн, в лучшем случае – на изо, а Гюйгенс, он вот ходил в станкостроительный кружок.

Он еще наловчился вырезывать из стекла линзы и их тряпочкой шлифовать, после чего собрал окуляр для телескопа и обнаружил кольца Сатурна[38], изобрел маятниковые часы и – внимание – диапроектор, чтобы дичайше смотреть «Ну, погоди!» на слайдах. Часы его конструкции были точны и недороги и быстро распространились по всему миру. Гюйгенс же и написал первую книгу о вероятности. Такой был замечательный голландец, ну вы понимаете, что ему там послужило вдохновением.

А дальше вот что происходит: развивается геодезия, астрономия и стрельба, например. И теория вероятностей начинает применяться в теории ошибок наблюдений, как ложатся пули вокруг мишени. И тут надо сказать про Лапласа, Пьера-Симона. Он опубликовал два закона распределения частотности ошибок, и второй из них называют гауссовым распределением. Дело в том, что большинство случайных величин из реальной жизни, таких, например, как ошибки измерений, стрельбы и прочего, могут быть представлены как анализ большого числа сравнительно малых ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Например, дрожанием руки – рука же каждый раз по-разному дергается.

А второй закон Лапласа гласит, что частота ошибок – степенная функция от квадрата ошибки, что сейчас называется нормальным распределением, а кривая – гауссианой. Гаусс (кстати, Карл), конечно, тоже был очень развитым ребенком, но в то время ему было 2 года от роду, и он пока плоховато еще законы формулировал. Но он подрос и авторитетом задавил бедного Лапласа.

9.4. Независимость

Сейчас я хочу пробежаться по некоторым терминам – для кого-то это будет повторением, но все равно не повредит.

Вероятность чаще всего обозначается латинской буквой p (от слова probability). Это всегда число, которое лежит между нулем и единицей, ну или от нуля и до 100 процентов. «Про цент» – это по-латински «поделить на сто», поэтому 100 % и есть единица. Если вероятность события – 0, это значит, что оно не может произойти. Если вероятность равна 1, то оно обязательно произойдет. В этом основная идея.

ОДИН ИЗ БАЗОВЫХ ПРИНЦИПОВ – ЭТО ИДЕЯ НЕЗАВИСИМОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБОЗНАЧАЕТШАНСЫ НАСТУПЛЕНИЯКАКОГО-ЛИБО СОБЫТИЯ.

Например, результата какого-либо эксперимента вроде броска монеты. Вероятность того, что если вы подбросите монету и она упадет орлом, равна одной второй, потому что у нее одинаковые шансы упасть орлом или решкой. Независимые эксперименты – это такие эксперименты, которые происходят – сюрприз! – вне зависимости друг от друга. Если вы бросаете монету два раза, результат первого броска никак не влияет на результат второго, и тогда мы говорим, что это независимые величины. Между ними нет никакой связи.