Если эклиптическая широта наших «братьев» равна β, то проекция лучевой скорости Солнца на их луч зрения составляет 13 м/с cos β. Значит, при β > 40° они не смогут заметить периодического движения Солнца, а при меньшем угле — смогут.

Заметим, что, когда эта задача впервые была сформулирована в начале 2000-х гг., ее условие (точность 10 м/с) вполне соответствовало уровню развития астрономии тех лет. Однако нынешний (2017 г.) уровень существенно возрос, и уже можно ориентироваться на точность измерения лучевой скорости в 1 м/с. Вычислите, каков будет при этом критический угол β.

Практически вся масса нашей планетной системы заключена в Юпитере, поэтому в подобных задачах можно рассматривать двойную систему Солнце — Юпитер, обращающуюся вокруг общего центра масс. Расстояние Солнца от центра масс

где rЮ — расстояние Юпитера от центра масс, практически совпадающее с радиусом его орбиты (5,2 а. е.). Тогда амплитуда углового перемещения Солнца при наблюдении с α Кентавра при расстоянии до нее D будет

Положив М⊙/МЮ = 1000, получим α = 0,751×5,2/1000 = 0,004″. Значит, астрономы из системы α Кентавра не узна́ют, что у Солнца есть планеты.

Ясно, что вопрос задан не о расстоянии фотографа от Луны. Поскольку видно, что Луна у горизонта (а что на это указывает?), то расстояние фотографа от Луны такое же, как ее расстояние от центра Земли, 384 000 км (а если бы Луна была в зените?). Значит, нас интересует расстояние до группы людей, наблюдаемых на фоне лунного диска.

Берем линейку и измеряем на картинке рост среднего человека и диаметр лунного диска (разумеется, горизонтальный диаметр, поскольку вертикальный уменьшился за счет дифференциальной атмосферной рефракции, да и виден не полностью). Делим одно на другое и видим, что рост человека укладывается вдоль лунного диаметра 11 раз. Значит, угловой размер роста человека с расстояния наблюдателя составляет 1800″/11 ≈ 164″ (мы приняли угловой диаметр Луны равным 30′). Этот угол мал, поэтому для расчета можно не пользоваться тригонометрическими функциями, а просто вспомнить, сколько угловых секунд в радиане (примерно 206 265), и найти длинную сторону треугольника: L = 206 265/164 = 1258 (в единицах роста человека). Если человек на снимке имеет рост 175 см, то L = 1258×1,75 м = 2,2 км. Весьма далеко. Сам фотограф (Mark Gee) оценил это расстояние в 2,1 км (https://alexandrz.com/full-moon-silhouettes). Неплохое совпадение.

Чтобы убедиться, что мы имели право заменить тригонометрические функции простым отношением углов, вычислим sin (164″) и tg (164″). Взяв в руки калькулятор, вы увидите, что значения обеих этих функций с большой точностью равны 1/1258.

Фламмарион имел в виду прецессию оси вращения Марса, вызванную приливным гравитационным влиянием Солнца на экваториальное вздутие планеты. Период прецессии оценивается примерно в 175 000 лет. По истечении половины этого периода северное полушарие планеты будет повернуто к Земле в эпоху великого противостояния, совпадающую с эпохой прохождения Марса через перигелий.

На расстоянии 570 км блеск свечи ослабнет на 5 × lg 570 = 13,8m. Следовательно, свеча на земле (ночью!) будет с орбиты «Хаббла» видна как звезда 13,8m + 8,25m = 22m. Поэтому «Хаббл» легко заметит ее. А на Луне (расстояние 384 000 км) свеча будет иметь блеск 36m, что делает ее неразличимой даже для «Хаббла».

Телескоп-рефрактор с объективом диаметром более 1 м практически невозможно изготовить. Во-первых, трудно отлить столь крупный диск оптически идеального стекла. Во-вторых, чем больше диаметр линзы, тем она толще и тем больше поглощение света. В-третьих, каждое прохождение света через оптическую поверхность линзы приводит к потере 4–6 % энергии. Ахроматический объектив рефрактора имеет четыре такие поверхности, поэтому потери велики. К тому же тяжелая линза деформируется собственным весом, и созданное ею изображение портится. Телескоп-рефлектор лишен всех этих недостатков, поэтому он может быть значительно крупнее, а для астрономов это очень важно. Разумеется, у рефлектора есть свои недостатки. Поэтому в современных крупных телескопах сочетаются большие зеркала с относительно небольшими линзами.

Мира Кита расположена на небе недалеко от эклиптики, всего в 16°. Поэтому ежегодно весной звезда скрывается в лучах Солнца, так что наблюдать ее с Земли невозможно.

Во-первых, оптические лучи рассеиваются в земной атмосфере значительно сильнее, чем радиоволны. Во-вторых, Солнце — относительно слабый источник радиоизлучения. Оптический поток от Солнца в миллионы раз сильнее, чем от всех прочих источников вместе взятых, за исключением Луны, хотя и она в полнолуние светит почти в полмиллиона раз слабее Солнца. А в радиодиапазоне Солнце не намного превосходит другие ярчайшие объекты. Вкупе со слабым рассеянием радиоволн в атмосфере это делает наше дневное радионебо «темным», позволяя изучать даже слабые радиоисточники. Хотя ночь все же предпочтительнее даже для радиоастрономии.

Заметим, что альбедо астероида такое же, как у Луны, а его диаметр в 10 раз меньше. Значит, он будет отражать в 100 раз меньше света, что даст проигрыш на 5m. Астероид в 100 раз дольше от Солнца, чем Луна. Значит, освещенность его поверхности в 10 000 раз ниже, что даст дополнительный проигрыш на 10m. Наконец, от Земли астероид в 100×150 млн км / 384 400 км = 39 022 раза дальше Луны, что снижает его блеск в 1,53 млрд раз, т. е. на 23m. В сумме мы теряем относительно Луны 38m. Поскольку астероид очень далеко, мы всегда видим его поверхность полностью освещенной Солнцем (фаза = 1,0), следовательно, сравнивать его блеск следует с блеском Луны в полнолуние (−12,7m). В результате блеск астероида будет равен 38m − 12,7m = 25,3m. Для указанного телескопа он будет недоступен.