либо «ложь». В троичной, или тернарной, логике принято, что суждения или высказывания могут характеризоваться как истинные, ложные или неопределённые. Однако подход к неопределённости, выбранный в троичной логике, изначально противоречив, так как приводит к ошибке при операции отрицания. Покажем это.

В логике С. Клини[103],[104], например, имеет место следующий вид отрицания:

Рис. 1. Отрицание в логике Клини

Здесь F – это ложь, U – неопределённость, T – правда. То есть отрицанием истины является ложь, отрицанием лжи – истина, а отрицанием неопределённости – сама же эта неопределённость. При такой форме отрицания получается, что неопределённость как бы зацикливается сама на себе, тогда как истина и ложь переходят при отрицании друг в друга. Фактически в таком подходе использована калька закона двойного отрицания классической двоичной логики, где двойное отрицание тождественно утверждению. Скажем:

Не (Не (Истина)) = Истина

Не (Не (Ложь)) = Ложь

Это совершенно верно для двоичной логики, но уже в троичной двойное отрицание не должно быть тождественно утверждению. Таким свойством должно обладать тройное отрицание. А именно:

Не (Не (Не (Истина))) = Истина

Не (Не (Не (Ложь))) = Ложь

Не (Не (Не (Неопределённость) = Неопределённость

Почему это необходимо? Точнее, почему такой подход к отрицанию имеет основания? Есть основания полагать, что мерность логики определяет её предельные возможности внутреннего развития. В двоичной логике истинное развивается в ложное, а ложное, наоборот, в истинное. Цикл развития оказывается очень коротким. Однако в троичной и более мерных логиках число звеньев цикла необходимо растёт, в противном случае дополнительные звенья теряют целесообразность. Покажем, что к такому пониманию отрицания был близок Гегель, но не формализовал её для своей логики.

Анализируя Спинозу, Гегель писал: «”Определённость есть отрицание” – таков абсолютный принцип спинозовской философии; этим истинным и простым взглядом обосновывается абсолютное единство субстанции. Но Спиноза не идёт дальше отрицания как определённости или качества; он не переходит к познанию отрицания как абсолютного, т. е. себя отрицающего, отрицания; тем самым спинозовская субстанция сама не содержит абсолютной формы; и познание этой субстанции не есть имманентное познание»[105].

Гегель критикует Спинозу за то, что онтология последнего не подразумевает отрицания как развития познания. Его онтология как бы статична для Гегеля. В то же время закон диалектики немецкого философа подразумевает, что двойное отрицание приводит к тождеству, но не к простому возвращению в исходную точку, а к возвращению с новым качеством: «Отрицания отрицания закон, один из основных законов диалектики, характеризующий направление процесса развития, единство поступательности и преемственности в развитии, возникновения нового и относительной повторяемости некоторых моментов старого»[106].

Это означает, что, следуя посылке Гегеля, мы могли бы получить несколько иной вывод, чем он сам получил. А именно мы могли бы дополнить его соображение идеей, что само отрицание зависит от мерности логики. Далее из изложения и рассмотрения этой идеи, однако, будет понятно, что для этого требуется, чтобы логика была полной (кратной двум). Рассмотрим это.

Таблица при операции отрицания в тернарной логике может выглядеть так:

Рис. 2. Отрицание в тернарной логике (вариант 1)

Или так:

Рис. 3. Отрицание в тернарной логике (вариант 2)

Возможны две симметричные тернарные логики. В одной из них (в последнем примере) отрицание лжи суть истина, а отрицание истины суть неопределённость, тогда как отрицание неопределённости суть ложь. Во второй происходит симметричное смещение. Впрочем, уже здесь видно, что тернарная логика является неполной, так как неопределённость не имеет противоположности, так как у чего-то логически бессмысленного её просто не может быть. Однако покажем это более чётко, введя неопределённость в модель естественным образом.

Рассмотрим это так. Что на самом деле означает характеристика «неопределённость»? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что троичная логика – это расширение двоичной и в какой-то степени менее строгая система суждений. В этом смысле ни одна из перечисленных характеристик суждений не должна использоваться в тернарной логике. Действительно, под истиной здесь следует понимать «истинно, что А», а под ложью – «истинно, что не-А». Соответственно, неопределённость тогда становится «неистинно, что А». Но здесь обнаруживается неполнота такой системы, так как возможно ещё «неистинно, что не-А». Именно поэтому возникает неопределённость, которая в троичной логике непреодолима.

Распишем это подробнее и покажем, как происходит расширение от двоичной логики к троичной. Например, если мы в классической логике считаем, что выражение А истинно, то мы на самом деле утверждаем «истинно, что А» (заимствуя такую подмену в модальной логике[107]). Теперь оказывается, что отрицание как будто может иметь два вида: 1) «неистинно, что А» и 2) «истинно, что не-А». Но какой из вариантов будет соответствовать классической характеристике «ложно, что А»? При должной осмотрительности мы признаем, что искомым отрицанием исходной посылки могут являться оба выражения, в зависимости от выбранного нами определения, чтó есть отрицание. Это создаёт неопределённость или вариативность. Собственно говоря, именно это обстоятельство и даёт возможность для расширения логики до троичной и далее, до четверичной.

Фактически троичная и четверичная логики могут содержать следующие характеристики как расширение классической логики:

Рис. 4. Расширение набора критериев от двоичной логики до четверичной

Как видно из таблицы, троичная логика является неполной и в ней невозможно построить непротиворечивую интерпретацию характеристик истинности. В ней присутствуют истинное утверждение, неистинное утверждение и истинное отрицание. Более полной, очевидно, является четверичная логика, которую мы назвали бы логикой убеждённости. В ней отрицание в общем виде имеет несколько иной смысл, чем в двоичной логике. Отрицание здесь есть переход одной границы логического пространства. Проще всего это можно изобразить как переход границы на следующей диаграмме, но, так же как в примере с троичной логикой, здесь нужно выбрать направление (по часовой или против часовой стрелки).

Рис. 5. Двухмерное логическое пространство

Допустим, выбрано направление по часовой стрелке для отрицания (в обратную сторону – антиотрицание). Отрицание в такой логической модели будет означать пересечение границы по часовой стрелке. Легко заметить, что всё пространство здесь разделено на четыре зоны двумя линиями – осями: осью степени убеждённости и осью степени утвердительности. Вертикальная ось в данном случае делит пространство на две зоны: «убедительно» слева и «неубедительно» справа. Горизонтальная ось делит пространство на «А» (утверждение) сверху и «не-А» (отрицание или антиутверждение) снизу. Фактически это эквивалентно следующим характеристикам по