Немецкий математик Давид Гильберт эффектно проиллюстрировал, насколько причудливой может быть арифметика бесконечного. Читая лекцию в 1924 году, он предложил слушателям представить себе отель с бесконечным количеством номеров. В обычном отеле с конечным числом комнат, когда все номера заняты, нового посетителя встречает табличка “Мест нет”. В “Гранд-отеле Гильберта” все по-другому. Если переселить гостя, занимающего первый номер, во второй, гостя из второго номера в третий и так далее, то в освободившемся первом номере можно будет разместить одного нового постояльца. Да что там одного! Можно освободить сколько угодно мест для бесконечного числа новых клиентов – стоит лишь переселить гостей из номеров 1, 2, 3 и так далее в номера 2, 4, 6 и дальше, таким образом освободив все нечетные номера. Процесс можно продолжать сколь угодно долго, так что, даже если в отель вдруг прибудет бесконечное количество автобусов, а в каждом из них бесконечное количество новых гостей, отказывать в размещении не придется никому. Такие экзерсисы могут показаться издевательством над нашей интуицией, но это потому, что наша интуиция просто не привыкла иметь дело с бесконечно большим. Дело в том, что свойства бесконечного множества объектов отличаются от свойств обычного, конечного множества, подобно тому как, например, в науке объекты на квантовом уровне ведут себя иначе, чем те, что окружают нас в повседневной жизни. В случае с отелем Гильберта утверждения “во всех номерах есть постояльцы” и “мы готовы принять новых гостей” не являются взаимоисключающими.

В такой вот диковинный мир мы попадаем, если принимаем реальность существования множеств чисел с бесконечным количеством элементов. Именно этот решающий вопрос стоял перед математиками в конце XIX века: готовы ли они принять существование актуальной бесконечности как числа? Большинство продолжало придерживаться точки зрения Аристотеля и Гаусса и отрицало такую возможность. Но некоторые, в том числе немецкий математик Рихард Дедекинд, а более всех его соотечественник Георг Кантор, понимали, что пришло время подвести под понятие бесконечных множеств прочную логическую базу.

Став первопроходцем в странном и тревожном мире бесконечного, Кантор столкнулся с ожесточенным сопротивлением и глумлением со стороны многих из своих современников (что прискорбнее всего, среди них оказался и его наставник и учитель Леопольд Кронекер), потерял работу в Берлинском университете и нажил себе душевную болезнь. В зрелом и пожилом возрасте он периодически оказывался в психиатрических лечебницах, терзался вопросом об авторстве пьес Шекспира и предавался раздумьям о философском и даже религиозном значении своих математических идей. Но несмотря на то, что умер он, оставленный всеми, в 1918 году в психиатрической лечебнице в стране, все еще находящейся в состоянии войны, сегодня его помнят за фундаментальный вклад в развитие теории множеств и в наше осмысление бесконечного.

Кантор понял, что хорошо известный принцип попарного разбиения, который используют для того, чтобы определить, равны ли два множества, можно с таким же успехом применить и к бесконечным множествам. Из него следовало, что четных положительных целых чисел на самом деле столько же, сколько положительных целых чисел всего. Кантор не только увидел, что никакого парадокса тут нет, – он осознал, что это определяющее свойство бесконечного множества: целое в нем не больше, чем какие-либо из частей. Далее он доказал, что множество всех натуральных, или положительных целых, чисел – 1, 2, 3, … (иногда в него включают и 0) – содержит точно такое же количество элементов, что и множество всех рациональных чисел, то есть тех, которые можно записать в виде обыкновенной дроби, где и числитель, и знаменатель целые. Он назвал это бесконечно большое число “алеф-ноль” (ﬡ0), где “алеф” – это первая буква еврейского алфавита.

Вы можете решить, что есть только одно бесконечно большое число, ведь, раз оно и так бесконечно большое, как может что-то быть еще больше? Но будете неправы. Кантор доказал, что существуют разные виды бесконечности, из которых алеф-ноль – самая маленькая. Бесконечно больше алеф-нуля число алеф-один (имеющее, по выражению Кантора, бо́льшую “мощность”). Алеф-два, в свою очередь, бесконечно больше, чем алеф-один, и так далее, без конца. Насколько хватит нашего слабого воображения, алефы следуют друг за другом бесконечной вереницей. Но и это еще не все: оказывается, на каждый алеф приходится бесконечное количество других бесконечно больших чисел, и вот здесь нам придется разобраться с тем, насколько важно в царстве бесконечного различать количественные и порядковые числительные.

В повседневной речи и практической арифметике количественными числительными мы обозначаем количество объектов в каком-то наборе: один, пять, сорок два и так далее; а порядковыми, как подсказывает само название, – их порядок или положение в группе: первый, пятый, сорок второй и так дальше. Различие между этими двумя типами числительных кажется очевидным и не очень существенным. Допустим, речь идет о карандашах. Понятно, что невозможно иметь пятый карандаш, не имея в наборе как минимум пяти карандашей. Ясно и то, что если карандашей в наборе, скажем, семь, то пятый среди них все равно есть. Бывает, конечно, и так, что пять карандашей есть, а пятого нет, – если мы не расположили их в определенном порядке. Но если отвлечься от этих тонкостей, и для тех и для других числительных мы можем использовать одинаковые символы – 1 (или 1-й), 5 (или 5-й), 42 (или 42-й) и так далее, – не особенно вникая в то, чем отличаются друг от друга эти две категории. Кантор понял, что, когда дело касается бесконечно больших чисел, это различие становится крайне важным. Чтобы понять, что он имел в виду, давайте пробежимся по той области математики, в развитии которой Кантор и Дедекинд сыграли решающую роль, а именно по теории множеств.

Множество – это всего лишь набор объектов: хоть чисел, хоть любых других. На письме для обозначения множества используются фигурные скобки: например, {1, 4, 9, 25} или {стрела, лук, 75, R}. Размер множества, то есть количество содержащихся в нем элементов, называется его кардинальным[41] числом (или мощностью) и обозначается количественным числительным. В двух только что упомянутых множествах по четыре элемента, значит, у обоих кардинальное число равно четырем. Если два множества имеют одинаковое кардинальное число, то для каждого элемента одного множества можно найти пару во втором, причем ни один элемент не останется лишним; другими словами, между этими двумя множествами имеется взаимно однозначное соответствие. Например, чтобы показать, что два наших множества имеют одно и то же кардинальное число, мы можем элементу 1 из первого поставить в соответствие 75 из второго, элементу 4 – “стрелу”, элементу 9 – R, а элементу 25 – “лук”. Конечные кардинальные числа (то есть те, что определяют размер конечных множеств) – это обычные натуральные числа: 0, 1, 2, 3 и так далее. Первое бесконечное кардинальное число – это алеф-ноль, которым, как мы уже знаем, обозначается размер множества всех натуральных чисел.

Если говорить о конечном множестве, то разница между его мощностью (кардинальным числом, обозначаемым количественным числительным) и его “длиной” (которая обозначается порядковым числительным) настолько несущественна, что может показаться пустой придиркой. Другое дело – множество бесконечное: Кантор понял, что тогда это совершенно разные вещи. Чтобы и мы сумели понять, насколько велико различие между ними, разберемся, что из себя представляет “вполне упорядоченное” множество. Множество считается вполне упорядоченным, если оно удовлетворяет двум условиям: во-первых, оно должно иметь определенный первый элемент; во-вторых, каждое из его подмножеств, или подгрупп, также должно иметь начальный элемент. Например, конечное множество {0, 1, 2, 3} является вполне упорядоченным. А вот множество всех целых чисел, включающее вместе с положительными и отрицательные числа, – {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} – назвать вполне упорядоченным уже нельзя, поскольку оно не имеет первого элемента. Множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3, …} – вполне упорядоченное: у него хоть и нет конкретного концевого элемента, зато первый имеется, как и у всех его подмножеств, содержащих только натуральные числа.