2352941176470588.

Столько именно и получается от сложения кругов цифр при соответственном их расположении. При вычитании числовых колец такого случая, разумеется, быть не может.

Чисел, подобных тем двум, с которыми мы познакомились, существует множество. Все они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением - от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/19, 1/23 и 1/29 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренные нами периоды дробей 1/7 и 1/17.

Например, от 1/29 получаем число

0344827586206896 551724137931.

Если указанное сейчас условие (относительно числа цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1 / 13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1 / 13 = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2 / 13 = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, т. е. 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9, 10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076923 x 3 = 230769), на остальные - нет. Вот почему от 1/13 получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о целом ряде других периодов.

После этого, думаем, нельзя не согласиться, что длиннейшие периоды бесконечных дробей представляют собою настоящую Калифорнию интереснейших арифметических достопримечательностей.

Глава VI Фокусы без обмана

Арифметические фокусы - честные, добровестные фокусы. Здесь не стремятся обмануть, не стараются усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить арифметический фокус, не нужны ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие-либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Весь секрет арифметического фокуса состоит в использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому все представляется простым и ясным; а для незнающего арифметики - самое прозаическое действие, например умножение, кажется уже чем-то вроде фокуса.

Было время, когда выполнение даже обыкновенных арифметических действий над большими числами, знакомых теперь каждому школьнику, составляло искусство лишь немногих и казалось остальным какою-то сверхъестественною способностью. В древнеиндусской повести «Наль и Дамаянти»[68] находим отголосок такого взгляда на арифметические действия. Наль, умевший превосходно править лошадьми, возил однажды своего хозяина, царя Ритуперна, мимо развесистого дерева - Вибитаки.

Вдруг он увидел вдали Вибитаку - ветвисто-густою Сенью покрытое дерево. «Слушай, - сказал он: - «Здесь на земле никто не имеет всезнанья; в искусстве Править конями ты первый; зато мне далося искусство «Счета»…

И в доказательство своего искусства царь мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну его искусства, и царь соглашается.

…Лишь только Вымолвил слово свое Ритуперн, как у Наля открылись Очи, и он все ветки, плоды и листья Вибитаки Разом мог перечесть…

Секрет искусства состоял, как можно догадаться, в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножением этого числа на число веток каждого сука и далее - на число сучьев дерева (предполагая, что сучья одинаково обросли ветками, а ветки - листьями).

Разгадка большинства арифметических фокусов столь же проста, как и секрет «фокуса» царя Ритуперна. Стоит лишь узнать, в чем разгадка фокуса, и вы сразу овладеваете искусством его выполнять, как овладел легендарный Наль изумительным искусством быстрого счета. В основе каждого арифметического фокуса лежит какая-нибудь интересная особенность чисел, и потому знакомство с подобными фокусами не менее поучительно, чем занимательно.

Задача № 41

Фокусник вынимает стопку из 300 кредитных билетов по 1 рублю каждый[69] и предлагает вам разложить деньги в 9 конвертах так, чтобы вы могли уплатить ими любую сумму до 300 рублей, не вскрывая ни одного конверта.

Задача представляется вам совершенно невыполнимой. Вы готовы уже думать, что тут дело кроется в какой-нибудь коварной игре слов или неожиданном толковании их смысла. Но вот фокусник, видя вашу беспомощность, сам раскладывает деньги по конвертам, заклеивает их и предлагает вам назвать любую сумму в пределах трехсот рублей.

Вы называете наугад первое попавшееся число, - например 269.

Без малейшего промедления фокусник подает вам 4 заклеенных конверта. Вы вскрываете их и находите:

Теперь вы склонны заподозрить фокусника в искусной подмене конвертов и требуете повторения опыта. Он спокойно кладет деньги обратно в конверты, заклеивает и оставляет их на этот раз в ваших руках. Вы называете новое число, например 100, или 7, или 293 - и фокусник моментально указывает, какие из лежащих у вас под руками конвертов вы должны взять, чтобы составить требуемую сумму (в первом случае, для 100 р. - 4 конверта, во втором, для 7 р. - 3 конверта, в третьем, для 293 р. - 6конвертов).