Греки также разработали математический аппарат для изучения дуг, составляющих половину круга, и углов, противолежащих хордам, которые соединяют центр круга с его окружностью. Но математика, конечно, черпала новое и за пределами Греции. Индийцы дополнили математику эллинов. В частности, математику Ариабхате, который занимался исследованиями в V в. н. э., приписывают описание тригонометрических функций через бесконечные ряды, что позволило ему разработать подробные таблицы значений для синусов и косинусов углов. Для отображения неба на небесном глобусе и Земли на земном глобусе требовалось приложить двумерную Евклидову геометрию к изогнутым поверхностям. В период с VII по XI в. арабы и индийцы создавали сферическую тригонометрию. Расширение геометрии для описания отношений между сторонами и углами треугольников на поверхности сферы имело решающее значение для астрономии, для определения местоположения звезд на глобусе, для геодезии, для понимания влияния кривизны Земли при навигации, так как отдаленные точки Земли теперь становились более доступными.

Развивающиеся торговые маршруты способствовали знакомству персидских и арабских математиков с новыми знаниями индийской математики, которые они транслировали и широко распространяли по всему средневековому исламскому миру. Математик Ал-Джайяни из Аль-Андалуса написал работу, которую считают первым всеобъемлющим трактатом по сферической тригонометрии, — это «Книга о неизвестных дугах сферы» («Китаб маджхулат киси ал-кура»). Применив теорему Птолемея, определяющую долготную разницу между двумя точками на Земле в терминах их разницы по широте и расстоянием по дуге большого круга между ними, математик Рейхан Аль-Бируни в XI в. использовал маршруты караванов для получения разницы в широте между Багдадом и другими городами{7}.

Астрономии необходим синтез наблюдений с теоретической и математической базой, кроме того, требуется продуманный анализ причины и следствия. Хотя модель Птолемея могла отобразить движения планет и указать положение на карте самых ярких звезд, зафиксированных жителями Вавилона, он не искал пояснений для интересующего нас вопроса — причины движения планет.

И снова ключом к ответу были технологии, которые продолжали развиваться. Компас, изобретенный в 200 в. до н. э., появился в западном мире примерно 400 лет спустя. В трактате «О природе вещей» (De naturis rerum) Александр Неккам рассказывает о магнитном компасе и его употреблении в навигации примерно за 40 лет до упоминания о нем в персидской книге сказаний, датируемой 1232 г., «Книге сокровищ купцов» («Китаб канз ал-туяр фи мари фат ал-ахяр»), автором которой был Байлак Аль-Кибьяки из Каира{8}.

Наработки в инструментах математики и картографии в итоге привели к появлению радикально нового вида карт — таких, которые соответствуют масштабу. Портуланы (морские карты) сочетали в себе установленные с помощью компаса направления и измеренные моряками морские расстояния. Развитие этих карт приблизило так называемую Эпоху открытий, обозначившую начало эры точных измерений в астрономии. Последовавшая охота за властью и добычей путешествующих по морю европейцев подогревала развитие науки и способствовала изобретению новых приборов. Как подразумевает само название, которое произошло от латинского слова, обозначающего «порт», портуланы были сосредоточены на деталях прибрежных линий и обозначенных с их помощью маршрутах: на картах были отмечены линии, соединяющие между собой известные прибрежные города и позволяющие произвести расчет расстояния, а также времени, необходимого для путешествия. Самый древний из сохранившихся портуланов — Пизанская карта, которую датируют 1296 г.

Если портуланы становились все более точными за счет использования звезд при создании карты Земли, карты неба не только сделались более выверенными, но и стали гораздо тщательнее отображать углубляющиеся объяснения космических явлений. Изменение в методах и возможностях толкования, которое отражало важные концептуальные метаморфозы, особенно заметно на картах неба. Рассмотрим для примера карту космоса, которая появляется в «Бревиарии любви» (Le Breviari d’Amor) — украшенной иллюстрациями рукописи, авторство которой приписывают Матфре Эрменгау де Безье, опубликованной в период между 1375 и 1400 гг.{9}

Этот рисунок изображает аристотелевскую и птолемеевскую точки зрения на Вселенную; царство неподвижных, неизменных идеальных звезд четко отделено границей на верхнем ободе. Все несовершенства ограничены земной сферой, внутри которой находятся изменяющиеся элементы — Огонь, Вода, Земля и Воздух. Все остальное считается чистым и совершенным. Обратите внимание, как это изображение связывает видение небесной силы с механистическим восприятием: ежедневные перемещения Солнца и Луны показаны как результат работы ангелов, которая приводит к вращению Земли. Итак, здесь мы видим упорядоченный космос Птолемея, который тем не менее приводится в движение за счет ангелов — они изображены вращающими ручку, которая часто используется в качестве метафорического устройства. Эта карта демонстрирует жизнестойкость мифологии или духовных элементов, соседствующих с математическим представлением. Здесь ангелы занимают понятийный вакуум, который позже был заполнен гравитационными законами Исаака Ньютона. Ньютон, конечно, рассматривал гравитацию не как свойство материи, но как проявление высших сил. Он верил в высшие силы как фактор, ответственный за движение планет.

Трактовки Вселенной становились более подробными пропорционально развитию миропонимания. Аналогичным образом изменения в восприятии Вселенной также отображались в рамках картографии. Некоторые из особенно витиеватых средневековых толкований космоса можно найти в «Каталанском атласе» (Catalan Atlas), опубликованном в 1375 г. Это одна из наиболее значительных компиляций времен Средневековья, которая отображает концепции Земли и неба. Автором данного атласа считают еврейского астронома и картографа Авраама Крескеса. Земля на изображении окружена кольцами, олицетворяющими четыре ключевых элемента и семь сфер, которые обозначают орбиты известных на тот момент планет. За их пределами находятся Луна, Солнце и неподвижные звезды. Эта карта свидетельствует о переходе от эпохи ангелов к эпохе инструментов. Ангелы больше не приводят в движение космос, вместо этого мы видим, как возрастает значение научных инструментов, в частности астролябии, которую держит в руках похожий на ученого мужа персонаж в центральной части карты.

Хотя считается, что астролябия как прибор для измерения местоположения изобретена древними греками и принадлежит авторству Птолемея, она была усовершенствована в средневековом мусульманском мире. Ученые Востока с их знанием тригонометрии ответственны за добавление в инструмент угловых шкал. Астролябию использовали для определения положения Солнца, Луны и звезд, а также местного времени на указанной широте с помощью таблицы широт многих известных городов, добавленной к прибору в виде отдельных съемных пластин. В мусульманском мире сферическая астролябия также применялась для определения направления, в котором располагалась Мекка, и времени регулярных молитв для истовых верующих. Первая западная металлическая астролябия была изготовлена в X в. в Испании, поэтому неудивительно, что инструмент появляется в «Каталанском атласе». На карте Крескеса время становится математическим понятием, которое можно сопоставить с вечностью. Влияние математических расчетов приобретает центральное значение и выходит на передний план. В более ранних представлениях о космосе на изображениях часто встречались бородатые люди, олицетворяющие собой богов, которые контролировали происходящее. На закате эпохи Возрождения ангелы и херувимы исчезают с места действия и их заменяют аллегорические человеческие фигуры, олицетворяющие четыре времени года.