Потенциальные комбинации детей

Если вас это удивляет, то вспомните условие задачи: «Один из них мальчик». Здесь ничего не говорится о том, старший он или младший. Вот если бы мы сказали что «старший из них мальчик», тогда здравый смысл совпал бы с теорией вероятности. Если старший ребенок мальчик, то остаются только два варианта с равной вероятностью: второй ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой, следовательно, вероятность равна 50:50.

Теперь вы уже готовы решить полную версию задачи: «У меня двое детей, и один из них мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность, что у меня два мальчика?» Внутренний голос подсказывает вам: «Дополнительная информация о дне недели не имеет никакого значения. Решение остается прежним: шансы на то, что в семье два мальчика, составляют один к трем». Однако, как ни удивительно, вероятность в данном случае составляет 13:27, то есть довольно близка к 50:50.

Для пояснений надо было бы нарисовать еще одну схему, но мне не хочется себя утруждать, поэтому вам придется ее представить. В левую часть схемы поместим 14 детей: первый мальчик, родившийся в воскресенье, первый мальчик, родившийся в понедельник, первый мальчик, родившийся во вторник… первая девочка, родившаяся в воскресенье и такдалее вплоть до первой девочки, родившейся в субботу.

У каждого из этих детей будет по 14 вариантов младших братьев или сестер: второй мальчик, родившийся в воскресенье, и т. д.

Итак, у нас есть 196 комбинаций, но, к счастью, большую часть из них мы можем сразу вычеркнуть. Нас интересуют только комбинации, в которых присутствует мальчик, родившийся во вторник. Таким образом, у нас остается пункт в левой части «первый мальчик, родившийся во вторник», с четырнадцатью возможными вариантами, а также еще 13 вариантов, в которых присутствует второй мальчик, родившийся во вторник. Итого 27 комбинаций. В скольких из них присутствуют два мальчика? В половине из первых четырнадцати вариантов и в шести из оставшихся тринадцати. Итого 13 (7 + 6). Тринадцать комбинаций дают нам двух мальчиков. Таким образом, вероятность того, что в семье два мальчика, составляет 13 к 27.

Здравый смысл протестует. Выходит, что, назвав день недели, в который родился один из мальчиков, мы увеличиваем вероятность рождения второго мальчика. Но ведь с тем же успехом мы могли бы назвать любой день недели. Почему так получается? Потому что, введя в качестве дополнительной информации день рождения, мы сразу отсекаем массу возможностей. Добавление любой информации фактически равносильно тому, что мы приходим к ситуации, в которой мальчиком является старший ребенок.

Теория вероятности абсолютно верна, и вы, если хотите, можете это доказать, смоделировав ситуацию на компьютере. Все цифры сойдутся. Но ум отказывается в это верить. Как вам это нравится? (Вообще-то, истины ради, стоило бы добавить, что представленная картина не совсем соответствует реальности. Решая задачу, мы исходили из того, что обычно мальчиков и девочек рождается поровну и что их появление на свет равномерно распределяется по всем дням недели. На самом деле это не совсем так, но данные обстоятельства уже выходят за рамки предлагаемого упражнения.)

Приведенные выше две ситуации могут произойти в реальной жизни. Например, задание из шоу Монти Холла про коз и автомобиль с некоторыми вариациями было использовано профессиональными азартными игроками на одном из круизных пароходов, курсирующих по Миссисипи. Воспользовавшись тем, что здравый смысл подсказывал их противникам шанс 50:50, они сумели сорвать большой куш. Однако третий пример, демонстрирующий неспособность нашего мозга решать задачи, связанные с теорией вероятности и статистикой, намного более важен для жизни, так как касается результатов медицинских тестов. С этими трудностями сталкиваются не только врачи, но и все мы.

Предположим, существует медицинский тест, позволяющий диагностировать определенную болезнь, и точность его результатов составляет 95 процентов. Следовательно, мы имеем дело с весьма надежным тестом. Предположим далее, что этой болезнью в данный момент страдает один из тысячи человек. Врачи подвергают тестированию один миллион случайно отобранных людей, включая и вас. Если ваш результат окажется положительным, то какова вероятность, что вы действительно больны?

Здравый смысл подсказывает, что если точность теста составляет 95 процентов, то и вероятность болезни у вас тоже равна 95 процентам. Однако в действительности ситуация далеко не так трагична. Статистика говорит, что среди миллиона обследованных людей должно быть примерно 1000 больных. Из них 950 получат по итогам обследования подтверждение, что у них есть это заболевание (и это действительно так), а у 50 результат окажется отрицательным, хотя они на самом деле больны (поскольку точность теста составляет лишь 95 процентов). Оставшиеся 999 000 здоровы, и 949 050 человек получат этому подтверждение (совершенно правильное), но у 49 950 человек результат теста окажется положительным (пятипроцентная вероятность ошибки).

А это значит, что из 50 900 положительных результатов 98 процентов не соответствуют действительности. Таким образом, даже если вы получите положительный результат по итогам обследования, то вероятность наличия у вас болезни составит всего 2 процента. Конечно, в этом примере использованы очень большие числа, но каждый раз, когда вы сталкиваетесь с тестом, с помощью которого исследуются сравнительно редкие состояния, то велика вероятность, что большинство полученных результатов окажется неверными. А следствием этого могут быть и испорченные нервы, и необходимость повторных проверок, таящих в себе потенциальную опасность. Поэтому речь идет не о такой уж безобидной ситуации. Повторю еще раз: наш мозг не приспособлен для того, чтобы хорошо разбираться в оценке вероятности.

Как только вы сталкиваетесь со статистикой и необходимостью оценки вероятности, следует отступить на шаг назад и постараться понять ситуацию. Убедитесь, что люди, предъявляющие вам статистические данные, сами правильно их понимают. Ведь слишком часто правительственные учреждения, газеты и телевидение допускают те же ошибки с теорией вероятности и статистикой, что и мы с вами.

Один из способов проверки статистической информации заключается в том, чтобы взглянуть на ситуацию несколько шире. Прежде чем пугаться цифр, соберите дополнительные данные. Допустим, вам говорят, что за последний год уровень насильственной преступности в вашем районе вырос на 100 процентов. Похоже, имеет смысл переселиться куда-нибудь подальше. Но лучше было бы поинтересоваться цифрами, которые легли в основу этого утверждения. Если в прошлом году было совершено одно преступление такого рода, а в этом году два, то это тоже означает 100-процентный рост, но действительность в данном случае оказывается не такой страшной, как статистика.

Вам также надо быть начеку, когда вы испытываете воздействие сразу на несколько чувств. В конце 1990‑х годов был проведен прекрасный эксперимент: прохожих останавливали на улицах и спрашивали, как пройти в то или иное место. Пока человек рассматривал карту, один из экспериментаторов под видом рабочего нес по улице большую дверь. Проходя между собеседниками, он незаметно менялся местами с тем, кто спрашивал дорогу. Примерно 50 процентов участников так и не заметили, что продолжают разговор уже с совершенно другим человеком. Они были слишком сосредоточены на поставленной задаче. Обычно мы уделяем значительно меньше внимания тому, что происходит вокруг нас, чем считает следователь, допрашивающий нас в качестве свидетеля.