Определяют магические квадраты, в которых присутствуют не цифры, а буквы (или, например, и числа, и буквы). Сначала рассмотрим буквенные магические квадраты. Они называются латинскими квадратами. Для порядка 7 можно составить четыре таких квадрата:

Далее следуют шесть греко-латинских квадратов. Для каждого из них цифры от 0 до 6 заменены на большие и маленькие буквы. При составлении числовых квадратов 0 может быть замещен как «а», так и «А». Остальные шесть цифр могут соответствовать любой букве. Таким образом получается 6 5 4 3 2 1 = 720 комбинаций.

Из каждого греко-латинского квадрата можно получить 720 720 = 518400 пан-магических квадратов. Но если учесть возможные зеркальные отображения, то получается 259200 оригинальных пан-магических квадратов.

Возникает естественный вопрос о существовании «волшебной» формулы, в соответствии с которой можно построить магический квадрат заданного порядка и с заданными характеристиками.

Обнаружены лишь частичные формулы, позволяющие моделировать магические квадраты в пределах ограниченных порядковых промежутков.

Пан-магический квадрат 5-го порядка является наименьшим квадратом нечетного порядка. Для того чтобы понять, как образуются подобные формулы, обратимся к следующим квадратам:

Квадрат 1

Квадрат 2

Пусть горизонтальная нумерация соответствует оси X (то есть это будут номера столбцов от 0 до 4), а вертикальная нумерация – оси Y (это будут номера строк от 0 до 4). Каждая отдельная ячейка определяется по формуле:

MOD (x – 2y, 5) – для квадрата 1

MOD (x – 3y, 5) – для квадрата 2

Под оператором MOD (m, n) понимается остаток деления m на n. Таким образом, MOD (m, n) = 2 в случае следующих пар:

m = 12 n = 5

m = 7 n = 5

m = 2 n = 5

m = –3 n = 5

К сожалению, несмотря на многовековые поиски, до сих пор не найдено такое универсальное уравнение. Может, решение найдется у вас?

Все в мире имеет свою противоположность. Наряду с магическими, существуют также и антимагические квадраты. Разновидность антимагического квадрата – гетероквадрат. Под гетероквадратом понимается такая нумерологическая структура, в которой сумма чисел, составляющих любой его ряд, столбец и главные диагонали, различная.

В представленных далее гетероквадратах сумма чисел любого ряда, столбца или диагонали отличается:

Далее – примеры гетероквадратов для порядков 4, 5 и 6:

А в антимагическом квадрате сумма чисел, составляющих любой его ряд, столбец и главные диагонали, последовательная. Далее представлены примеры антимагических квадратов (жирным шрифтом показана сумма рядов, столбцов и диагоналей).

порядок = 4

последовательная сумма = от 29 до 38

(жирным шрифтом показана сумма рядов, столбцов и диагоналей)

порядок = 5

последовательная сумма = от 60 до 61

(жирным шрифтом показана сумма рядов, столбцов и диагоналей)

порядок = 6

последовательная сумма = от 104 до 117

(жирным шрифтом показана сумма рядов, столбцов и диагоналей)

порядок = 7

последовательная сумма = от 167 до 182

(жирным шрифтом показана сумма рядов, столбцов и диагоналей)