На ней изображена точка, двигающаяся по окружности по часовой стрелке, но эта точка не подразумевает какой-то физический или астрономический объект. Это не Земля, вращающаяся вокруг Солнца, и не что-то связанное с временами года. Просто абстрактная точка, движущаяся по окружности. Ее смещение к востоку (для краткости «восточность») увеличивается и уменьшается подобно синусоиде. Когда точка достигает максимального восточного положения, как на диаграмме, это аналогично максимуму синусоиды или самому длинному дню в году. Вопрос: что происходит дальше, когда точка занимает максимальное восточное положение, а синусоида находится на максимуме восточности? Как видно на диаграмме, в самом восточном положении наша точка направляется на юг, что показано стрелкой вниз. Но юг на компасе находится на 90 градусов от востока, а 90 градусов – это четверть цикла. Эврика! Вот откуда берется сдвиг на четверть цикла. Из-за геометрии окружности всегда существует смещение на четверть цикла между любой синусоидой и волной, полученной из нее в качестве производной, то есть в качестве скорости изменения. В этой аналогии направление движения стрелки подобно скорости изменения. Оно определяет, куда точка пойдет дальше и, следовательно, как она меняет свое положение. Более того, само направление стрелки тоже вращается по кругу, пока точка делает оборот, так что направление стрелки по компасу тоже следует синусоиде. А поскольку направление по компасу подобно скорости изменения – вуаля! – скорость изменения тоже следует синусоидальной закономерности. Это то самое свойство самовосстановления, которое мы пытались понять. Синусоиды порождают синусоиды со сдвигом на 90 градусов. (Специалисты поймут, что я пытаюсь без формул объяснить, почему производная синуса – это косинус, который сам по себе – всего лишь синус, сдвинутый на четверть периода.)

Аналогичная 90-градусная фазовая задержка происходит и в других колебательных системах. Когда маятник раскачивается туда-сюда, его скорость достигает максимума, когда он проходит нижнюю точку, в то время как угол достигает максимума спустя четверть цикла, когда маятник займет крайнее положение. График зависимости угла и скорости от времени показывает две приблизительные синусоиды, колеблющиеся с разностью в 90 градусов по фазе.

Еще один пример – упрощенная биологическая модель взаимодействия «хищник – жертва». Представьте популяцию акул, охотящихся на популяцию каких-то рыб. Когда численность рыбы находится на максимуме, популяция акул растет с максимальной скоростью, потому что у нее есть много корма, и достигает максимального количества через четверть цикла, к моменту, когда численность рыб падает, потому что они стали жертвами масштабной охоты четвертью цикла ранее. Анализ такой модели показывает, что численности двух популяций колеблются с разницей в 90 градусов по фазе. Подобные колебания «хищник – жертва» наблюдаются в природе повсеместно, например в годовых популяциях зайца и рыси в Канаде, как было установлено промысловыми компаниями в 1880-х годах (хотя реальное объяснение этих колебаний, несомненно, гораздо сложнее, как это часто бывает в биологии).

Если вернуться к данным о продолжительности дня, то мы видим, что это не идеальные синусоиды. Кроме того, это дискретный набор точек, по одной в день, и между ними нет никаких данных. В результате отсутствует тот континуум точек, который нужен для математического анализа. Поэтому для последнего примера производной обратимся к случаю, когда мы можем собирать данные с произвольным разрешением, вплоть до миллисекунды.

Производная как мгновенная скорость

Вечер 16 августа 2008 года в Пекине выдался безветренным. В 22:30 восемь быстрейших людей мира выстроились на стартовой линии для финального забега на 100 метров. Один из них, 21-летний ямайский спринтер по имени Усэйн Болт[190] был относительным новичком в этом состязании. Более известный забегами на 200 метров, он годами упрашивал своего тренера позволить ему пробежать более короткую дистанцию, и за последний год очень на ней преуспел.

Он был непохож на других спринтеров – долговязый, ростом 1,96 метра, с длинным резким шагом. В детстве он занимался футболом и крикетом, пока тренер не обратил внимание на его скорость и не предложил попробовать себя на беговой дорожке. Подростком Усэйн продолжал совершенствоваться как бегун, однако никогда не относился слишком серьезно ни к спорту, ни к себе. Он был озорным и обожал розыгрыши.

В тот вечер в Пекине, после того как всех финалистов представили и показали на экране, стадион затих[191]. Спринтеры поставили ноги в стартовые колодки и заняли исходное положение. Последовали команды: «На старт! Внимание!» – и выстрел из стартового пистолета.

Болт сорвался с колодок не так стремительно, как другие участники. Медленная реакция сделала его на старте седьмым из восьми спринтеров. Набирая скорость, через тридцать метров Болт был уже в середине. По-прежнему ускоряясь, как поезд-экспресс, он оставил между собой и другими бегунами огромный просвет.

На восьмидесяти метрах ямайский спринтер посмотрел вправо, чтобы взглянуть на соперников. Поняв, насколько сильно их опередил, он заметно замедлился, опустил руки и хлопнул себя по груди, пересекая финишную черту. Одни комментаторы восприняли это как хвастовство, другие – как проявление радости, но в любом случае Болт явно не ощущал потребности мчаться в конце изо всех сил, что привело к спекуляциям на тему, насколько быстрее он мог бы бежать. Как бы то ни было, даже с такой жестикуляцией (и развязанными шнурками) он установил новый мировой рекорд – 9,69 секунды. Его критиковали за неспортивное поведение и неуважение, но Болт и не думал ни о чем подобном. Позднее он говорил репортерам: «Это всего лишь я. Люблю веселиться и просто быть расслабленным»[192].

WENN Ltd / Alamy

Как быстро он бежал? Ну, 100 метров за 9,69 секунды означает скорость 100 / 9,69 = 10,32 метра в секунду. В более привычных единицах это 37 километров в час. Однако это его средняя скорость в забеге. Он двигался медленнее в начале и конце и быстрее в середине.

Более подробную информацию можно получить из его промежуточного времени, зарегистрированного через каждые 10 метров дорожки стадиона. Первые 10 метров он пробежал за 1,83 секунды, что соответствует средней скорости 5,46 метра в секунду. Самыми быстрыми отрезками были 50–60, 60–70 и 70–80 метров. Каждый из этих 10-метровых отрезков он промчался за 0,82 секунды, то есть со средней скоростью 12,2 метра в секунду. Наконец, на последних 10 метрах, когда он расслабился и сбавил скорость, он замедлился до средней скорости 11,1 метра в секунду.