Давид Гильберт

Родился: Велау под Кёнигсбергом, Пруссия (ныне Знаменск под Калининградом, Россия), 23 января 1862 г. Умер: Гёттинген, Германия, 14 февраля 1943 г.

В Германии любой профессор, достигший возраста 68 лет, должен был уйти в отставку. Когда в 1930 г. этот рубеж проходил Давид Гильберт, официальное завершение выдающейся ученой карьеры было отмечено множеством публичных мероприятий. Сам он прочел лекцию, посвященную первому своему крупному результату: существование конечного базиса для инвариантов. Автомобилисты ездили по улице, только что получившей название Гильбертштрассе. Когда его жена заметила по этому поводу: «Какая прекрасная мысль!», Гильберт ответил: «Мысль так себе – но исполнение прекрасное».

Самым приятным подарком для Гильберта стало звание почетного гражданина Кёнигсберга – города, неподалеку от которого он родился. Об этой чести должны были объявить на заседании Общества немецких ученых и врачей, и Гильберту следовало произнести по этому поводу благодарственную речь. Он решил, что речь по этому случаю должна быть понятна всем, а поскольку в Кёнигсберге к тому же родился Иммануил Кант, то некоторый философский оттенок в ней тоже будет уместен. Кроме того, речь должна подводить итог работе всей его жизни. В качестве темы Гильберт избрал «Естественнонаучное знание и логику». Гильберт имел богатейший опыт подобных выступлений, он нередко участвовал в организованной университетом серии публичных лекций для всех желающих, которые читались по утрам в субботу. Теория относительности, бесконечность, общие принципы математики… он старался сделать эти темы доступными для всех, кого это интересовало. Теперь же он сосредоточил усилия на подготовке лекции, которая должна была затмить собой все, что было прежде.

«Приблизиться к пониманию природы и жизни – благороднейшая наша задача», – начал он. Далее он сравнил два способа познания окружающего мира – мысль и наблюдение – и перечислил факторы их сходства и различия. Оба способа прочно связывают между собой законы природы; законы эти следует выводить из наблюдений и развивать при помощи чистой логики. Такой взгляд понравился бы Канту – и в этом заключалась своеобразная ирония, поскольку Гильберт не был особым поклонником Канта. Однако случай для того, чтобы заявлять об этом, был неподходящий, так что по этому конкретному вопросу разногласий не возникло. Однако Гильберт не смог удержаться хотя бы от одного критического замечания: он предположил, что Кант переоценил важность априорного знания, то есть знания, не получаемого посредством опыта. Хороший пример – геометрия: не было никаких оснований считать, что пространство вокруг нас обязательно Евклидово, как утверждал Кант. Однако стоит отбросить антропоморфный шлак, и останутся подлинно априорные концепции – а именно общие положения математики. «Вся наша нынешняя культура в той мере, в какой она связана с интеллектуальным познанием и завоеванием природы, зиждется на математике!» – с пафосом произнес Гильберт. А закончил он выступление словами в защиту теоретической математики, которую часто критикуют за отсутствие практической значимости: «Чистая теория чисел – это та часть математики, для которой до сих пор [курсив авт.] не обнаружено ни одного практического приложения… Слава человеческого духа – единственная цель всей науки!»

Эта лекция оказалось столь успешной, что Гильберта уговорили повторить ее для местной радиостанции; запись сохранилась. В выступлении он подчеркивает, что задачи, решение которых ранее представлялось невозможным – к примеру, выяснение химического состава звезды, – сдаются перед новыми способами мышления. «Не существует такой вещи, как нерешаемая задача», – сказал он. А последние слова его речи звучали так: «Мы должны это знать. Мы будем это знать». Затем, ровно в тот момент, когда техник выключил запись, Гильберт рассмеялся.

В то время Гильберт был глубоко погружен в масштабную программу, суть которой состояла в том, чтобы подвести под все здание математики логический фундамент, – и эти слова свидетельствовали о его неколебимой уверенности, что данная программа будет успешно выполнена. Многое было уже сделано, но нужно было разобраться в нескольких упрямых моментах. Когда же эти вопросы были бы наконец окончательно заполированы, в распоряжении Гильберта оказался бы не просто логический базис для всей математики в целом – он смог бы доказать, что его аксиомы логически непротиворечивы.

Получилось, однако, не так, как он надеялся.

* * *

Гильберт происходил из семьи юристов. Его дед был судьей и тайным советником, его отец Отто – судьей графства. Его мать Мария (урожденная Эрдтманн) была дочерью кёнигсбергского торговца. Она питала страстный интерес к философии, астрономии и простым числам, и похоже, что ее энтузиазм передался и сыну. Когда Давиду было шесть лет, у него появилась сестра Эльзи. В школу Давид пошел в восемь лет, а до этого мать учила его дома. Школа обучала по классической программе, в ней почти не учили математике и совсем не учили физике и другим естественным наукам. Зубрежка была в порядке вещей, и везде, где требовалось заучивать наизусть неструктурированные списки фактов, Гильберт показывал слабые результаты. Сам о себе он пишет, что был «туп и глуп». Лишь один предмет выступал из общего ряда. В школьном отчете сказано: «К математике он всегда выказывал очень живой интерес и проницательный ум: он замечательным образом овладел всем преподаваемым в школе материалом и умел применять его с уверенностью и изобретательностью».

В 1880 г. Гильберт начал обучение в Университете Кёнигсберга со специализацией в математике. Он проходил курсы также в Гейдельберге у Лазаря Фукса; вернувшись в Кёнигсберг, учился у Генриха Вебера, Фердинанда фон Линдемана и Адольфа Гурвица. Гильберт близко подружился с Гурвицем и с одним из товарищей-студентов Германом Минковским. С Минковским он переписывался до конца жизни. Научным руководителем Гильберта стал Линдеман, который вскоре прославился доказательством того, что число π не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Он предложил Гильберту поработать над теорией инвариантов, то есть двинуться по дороге, которую проложил Буль и расширили Кэли, Силвестр и Пауль Гордан. Все они использовали вычислительные методы, и ловкость Гильберта в этих ужасных расчетах производила сильное впечатление на его друга Минковского, который писал: «Я наслаждался всеми теми процессами, через которые приходилось проходить несчастным инвариантам». В 1885 г. Гильберт получил свою докторскую степень, прочитав публичную лекцию по физике и философии.

В то время ведущим авторитетом в теории инвариантов был Гордан, а главный нерешенный вопрос состоял в том, чтобы доказать, для любого числа переменных и любой степени уравнения, существование конечного базиса. То есть конечного числа инвариантов, таких, что все остальные инварианты представляют собой их линейную комбинацию. Запишите базис – и по существу вы получите все возможные инварианты. Для квадратного уравнения с двумя переменными базис состоит из одного-единственного инварианта, и это дискриминант. Конечность базиса была доказана во многих случаях, и всегда при этом вычислялись все инварианты, а затем из них извлекался базис. Этим методом Гордан в свое время доказал наиболее общую известную теорему такого рода.