великое множество, и всех их перебрать нет никакой возможности.

Человек, находясь в здравом уме, примет для доказательства черноты воронов только первый способ. Видя зелёное яблоко, он не подумает о том, что этот факт хоть как-то может подтвердить черноту всех ворон.

Первое, что приходит на ум: простые законы формальной логики не всегда применимы при анализе реальных явлений. Необходимы дополнительные уточнения и оговорки. Например, для разрешения «парадокса Гемпеля» используется теорема Байеса (нам нет необходимости её обсуждать).

Законы формальной логики не всегда применимы при анализе реальных явлений: существуют и белые вороны

Переходя от теоретической логики к материальной реальности, вспомним о том, что встречаются в природе, хотя и чрезвычайно редко, парадоксальные белые вороны. Об их существовании можно узнать двумя способами. В первом случае надо искать воронов, ведя им учёт, в результате чего можно в конце концов наткнуться на белую особь этого вида.

Возможен другой вариант. Вести наблюдения в природе, особо не выделяя воронов. При этом есть немалая вероятность того, что встретится белый ворон. Вряд ли в таком случае потребуется больше усилий, чтобы его встретить, чем в первом варианте. И там, и тут приходится полагаться на счастливый случай. Однако значительно расширяется интеллектуальное пространство, и можно будет обнаружить немало интересного кроме белого ворона.

Есть ещё один поучительный аспект утверждения «все вόроны чёрные». В процессе его проверки вряд ли быстро встретится белый ворон. Чем больше будет встречено чёрных воронов, тем больше будет укрепляться мысль, что исходный постулат абсолютно верный. Но вдруг после тысяч подтверждений возникло одно опровержение: обнаружен белый ворон.

Конечно, не исключено, что чёрного ворона специально покрасили в белый цвет, или что он угодил в белую краску, или это вовсе не ворон… Если все сомнения будут сняты, останется один достоверный факт против многих тысяч столь же достоверных фактов.

Учитывая формальное соотношение «за» и «против», можно пренебречь единственным фактом, «не вписавшимся» в общую картину. Однако в науке именно этот один факт имеет больший вес, чем тысячи подтверждений. Он открывает возможность для новых нетривиальных идей.

Гранд-отель Гильберта

Это не обычное заведение, а математическое. В нём бесконечное количество комнат. Все они заняты постояльцами. Свободных мест нет. Прибыл постоялец. Как его разместить? В этом отеле – без проблем.

Достаточно постояльца из № 1 переместить в № 2, а постояльца из него – в № 3, а из № 3 – в следующий, и так далее до бесконечности. Вот и освободился номер! Ведь комнат бесконечно много.

Да что там один «лишний» человек. Пусть прибудет тысяча; в конце концов такой отель может вместить бесконечное множество посетителей, несмотря на то, что все номера уже заняты.

Парадокс сформулировал столетие назад математик Давид Гильберт. Так он показал, что операции с бесконечными (воображаемыми) объектами не подчиняются знакомым нам с детства законам математики.

Например, в любой нормальной гостинице, где комнаты пронумерованы по порядку, количество чётных или нечётных номеров будет меньше числа всех номеров. Это очевидно.

Отель Гильберта может вместить бесконечное множество посетителей, несмотря на то, что все номера уже заняты

А в «Гранд-отеле Гильберта» количество комнат и с чётными номерами, и с нечётными не меньше общего числа комнат. Это противоречит здравому смыслу, ибо бесконечность остаётся вне нашего личного и коллективного опыта. Для нас она – нечто умозрительное, предполагаемое.

…Поговорка: всему есть предел. Бесконечность запредельна. Что там, за пределом, никто не знает. Надо догадываться, фантазировать, предполагать. Но почему – надо? Только потому, что хочется. Ограниченный ум человека не желает признавать ограничений. (Ещё один парадокс.)

На взгляд дилетанта, следовало бы вместо бесконечности или, пожалуй, в связи с ней, признать неопределённость как одну из философских, логических и математических категорий.

В таком случае не надо в придуманном Гильбертом Гранд-отеле пересаживать бесконечное множество постояльцев, что требует бесконечно много времени. Достаточно признать, что номеров в гостинице так много, что и сосчитать не удаётся. Наверняка найдётся место для ещё одного или даже многих клиентов, тем более что часть номеров неизбежно освобождается по разным причинам.

Как бы ни были увлекательными и парадоксальными игры с бесконечностью, приходится признать, что они основаны на вере, а не на фактах и знаниях, которые не бесконечны.

Лампа Томпсона

Британский философ Джеймс Ф. Томпсон в 1954 году предложил мысленный эксперимент с лампой, назвав его парадоксом о сверхзадаче.

Из Интернета: «Он рассмотрел выполнение бесконечного числа задач за заданное время, которому он дал название сверхзадачи. Чтобы опровергнуть возможность сверхзадач, он представил лампу Томсона – мысленный эксперимент, похожий на парадоксы Зенона».

Предположим, есть электрическая лампа, и мы её периодически включаем и выключаем. Сначала она включена на минуту, после чего на полминуты отключается. Снова включена уже на четверть минуты. Новое включение – на одну восьмую минуты, и так далее.

Каждый раз время включения и выключения лампы уменьшается вдвое. Вся процедура длится 2 минуты. Как узнать, будет спустя этот срок лампа включена или выключена?

Каждое нечетное нажатие кнопки будет лампу включать, каждое четное – выключать. Спустя две минуты после начала опыта он завершится тем, что лампа или будет включена (при последнем нечётном нажатии включателя), или выключена (последним было чётное нажатие на выключатель).

Парадокс с лампой Томсона напоминает парадоксы Зенона

Какое же число будет последним – чётное или нечётное?

«Проблема в том, что последнего натурального числа в природе не существует по определению. То есть лампа будет либо выключена, либо включена, однако узнать об этом нет никакой возможности! Парадокс!»

Такое объяснение, мне не вполне понятное, из Интернета. Как мне представляется, интервал между включением и выключением лампы будет стремительно сокращаться, приближаясь к двухминутному рубежу всё более медленно, но так и не достигнув его.

Однако наблюдатель, не дожидаясь конца этого бесконечного сходящегося ряда, ровно через 2 минуты прекратит эксперимент. Перед этим включение и выключение чередовались с огромной скоростью, за ничтожные отрезки времени (выражение парадоксальное, ибо время как субстанцию не материальную, резать невозможно).

Тут должен сказаться тот промежуток времени, который требуется для переключения. Он не может равняться нулю, ибо тогда переключения не будет. Выходит, спустя 2 минуты после включения лампы Томпсона, возможно три варианта: лампа включена, выключена или не включена и не выключена (момент переключения).

Вот ещё один вариант объяснения:

«По мнению одних, лампа Томсона – вполне разумный “мысленный эксперимент”, по мнению других, – вопиющая нелепость.