Чтобы перевести значения по шкале Фаренгейта в градусы по шкале Цельсия, необходимо всего лишь решить уравнение 13.1 для С, ответом будет:

C = 5/9(F – 32). (Уравнение 13.2)

Как только появилась возможность точного измерения температуры, стало возможным точно выражать и температурно зависимые изменения. Можно четко выразить, что означает «за столько-то градусов Цельсия» (фраза, которую можно сократить до «в °С» или «/°С»).

Например, предположим, что мы измеряем изменение длины прутка в зависимости от изменения температуры. В этом случае мы можем вычислить, чему равно приращение в длине прутка при нагревании его на 1 °С. Такое увеличение длины называется «коэффициентом линейного расширения» тела.

Величина коэффициента линейного расширения тела изменяется в зависимости от того, из какого материала состоит это тело, но, как правило, является очень малой. Для стали, например, она равна 0,00001/°С, или, если выразить в экспоненциальной форме: 1 x 10–5/°C. Это означает, что прут длиной в один метр при нагревании на один 1 °С расширится на величину, равную 0,00001 метра, прут длиной в один километр расширится на величину, равную 0,00001 километра, прут длиной в один сантиметр расширится на величину, равную 0,00001 сантиметра, и так далее. (Примеры некоторых других коэффициентов линейного расширения: 1,9∙10–5 °С для меди, 2,6∙10–5/°С для алюминия и всего лишь 0,04∙10–5 °С Для кварца.)

Предположим, что мы обозначим коэффициент линейного расширения тел греческой буквой «альфа» (α). Если мы возьмем пруток длиной, равной при некоторой начальной температуре одному метру, поднимем эту температуру ровно на 1 °С, то длина его увеличится на α метров и составит 1 + α метров. Если мы поднимем температуру на 2 °С, то расширение составит вдвое большую величину, так что полная длина теперь становится равной 1 + 2α, при повышении температуры на 3 °С полная длина составит 1 + 3α. Короче говоря, для получения величины, на которую увеличивается длина тела, следует умножить значение α на то количество градусов, на которые изменяется температура.

В физике и в математике общепринято обозначать изменение в значении величины греческой буквой «дельта» (Δ). Если мы обозначим температуру символом t, то можем записать изменение в температуре как Δt (обычно читается — «дельта t»). Другими словами, мы можем представить длину однометрового прутка после некоторого повышения температуры как 1 + α(Δt).

Естественно, если температура, вместо того чтобы повышаться, падает, то значение Δt становится отрицательным, соответственно и α(Δt) — тоже. Выражение 1 + α(Δt) тогда становится меньше единицы, что является совершенно правильным — ведь при охлаждении размеры прутка уменьшаются.

Предположим теперь, что мы взяли двухметровый пруток. Мы можем рассматривать его как состоящий из двух однометровых прутков, соединенных вместе. Каждая однометровая половина после изменения температуры имеет полную длину, равную 1 + α(Δt), и поэтому полная длина прутка равна 2[1 + α(Δt)] — то же можно показать и для прутка любой другой произвольной длины. Фактически если мы обозначим длину прутка L, тогда после некоторого изменения в температуре, равного Δt, его длина составит L[1 + α(Δt)] или, перемножив, получаем L + Lα(Δt).

Теперь зададим себе вопрос: «Какое изменение в длине соответствует изменению в температуре?» Естественно было бы обозначить изменение в длине как ΔL, тогда изменение в длине будет равно длине после изменения температуры минус первоначальная длина. То есть это будет L + Lα(Δt) — L, и окончательная формула, которую мы получаем, будет выглядеть:

ΔL = Lα(Δt). (Уравнение 13.3)

Однако с повышением температуры материя расширяется не только по длине, но и во всех других направлениях, поэтому гораздо важнее знать изменение в объеме тела, а не только в его длине. В жидкостях и газах мы вообще можем измерить только изменение в объеме. Что же касается твердых тел (особенно когда тело представляет собой длинный прут), то часто гораздо проще измерить линейное расширение, а уже из него вычислить объемное расширение.

Начнем с того, что примем утверждение, что коэффициент линейного расширения для данного материала имеет одно и то же значение для ширины и высоты тела, как и для его длины[61]. Предположим, что мы взяли тело размером в один кубический метр (то есть его длина, ширина и высота равны одному метру каждая). После повышения температуры на 1 °С его длина станет равной 1 + α метров. Однако его ширина также увеличится и станет равна 1 + α метров, то же самое справедливо и для его высоты. Начальный объем тела был равен 13 метров (понятно, что 13 = 1), теперь он стал равен (1 + α)3 кубических метров. При изменении температуры на 1 °С объем тела изменяется на (1 + α3) — 13, или на (1 + α3) — 1. Эта величина характеризует изменение объема тела в зависимости от изменения температуры и называется «коэффициент объемного расширения».

Величина (1 + α3) может быть по обычным алгебраическим правилам выражена в виде: 1 + 3α + 3α2 + α3. Из этого выражения мы вычитаем 1 и получаем, что коэффициент объемного расширения тела равен 3α + 3α2 + α3, в этом выражении α — очень маленькая величина, как мы это уже отмечали в случае твердых тел и жидкостей, соответственно α2 и α3 — еще гораздо меньшие величины[62], которые можно игнорировать как не вносящие существенного изменения в выражение. Тогда если мы отбросим квадрат и куб а, то можем с весьма достаточной точностью сказать, что коэффициент объемного расширения равен 3α, то есть утроенному коэффициенту линейного расширения. Таким образом, если коэффициент линейного расширения стали равен 1∙10-5/°С, то его же коэффициент объемного расширения примерно равен 3∙10-5/°С.