Хотя Лейбниц создал свой вариант анализа через десятилетие после Ньютона, обычно по нескольким причинам его считают соавтором. Он первым опубликовал результаты, причем в стройной удобоваримой форме, да и воспользовался продуманными элегантными обозначениями, которые актуальны до сих пор. Более того, Лейбниц привлекал последователей, которые распространяли его слово с евангельским рвением. Они написали влиятельные учебники и проработали предмет с плодовитой детальностью. Позднее, когда Лейбница обвиняли в краже анализа у соперника, эти ученики яростно его защищали и с тем же запалом контратаковали Ньютона.

Подход Лейбница к анализу более элементарен, чем у Ньютона, и во многих случаях интуитивно понятнее[236]. Это также объясняет, почему изучение производных издавна называется дифференциальным исчислением, а операция взятия производной – дифференцированием. Причина в том, что при подходе Лейбница истинное сердце анализа – понятие дифференциала, производные же вторичны и являются позднейшим продуктом.

Сегодня мы забываем, насколько важны были дифференциалы. Современные учебники преуменьшают их значимость, переопределяют и обеляют их, поскольку они (ах!) бесконечно малы. В этом качестве они кажутся парадоксальными, странными и пугающими, поэтому многие учебники – просто на всякий случай – запирают бесконечно малые где-то на чердаке, как мать Нормана Бейтса в фильме «Психо». Но на самом деле их не стоит бояться. Правда.

Давайте же с ними познакомимся.

Бесконечно малые величины

Бесконечно малая величина – весьма туманная вещь. Предполагается, что это самое крохотное число, которое вы можете себе представить, но при этом не равное нулю. Короче говоря, бесконечно малая величина меньше, чем все, но больше, чем ничто. Еще парадоксальнее то, что бесконечно малые величины бывают разных размеров.

Бесконечно малая часть бесконечно малой величины – еще неизмеримо меньше. Мы могли бы назвать это бесконечно малой величиной второго порядка.

Точно так же как существуют бесконечно малые величины, существуют бесконечно малые длины и бесконечно малые времена. Бесконечно малая длина – это не точка, она больше точки, но меньше, чем любая длина, которую вы можете себе представить. Аналогично бесконечно малый временной интервал – это не мгновение, не одна точка во времени, но он короче любого мыслимого промежутка времени.

Понятие бесконечно малых величин возникло как способ говорить о пределах. Вспомните пример из главы 1, где мы рассматривали последовательность правильных многоугольников, которая начиналась с равностороннего треугольника и квадрата и продолжалась пятиугольниками, шестиугольниками и другими правильными многоугольниками со все большим числом сторон. Мы отмечали, что чем больше сторон рассматриваем, тем больше многоугольник становится похож на окружность. У нас возникало искушение сказать, что окружность – это многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон, но мы прикусили язык, поскольку это понятие, казалось, вело к бессмыслице.

Мы также обнаружили, что если взять любую точку на окружности и смотреть на нее в микроскоп, то любая крохотная дуга, содержащая эту точку, будет при увеличении выглядеть все прямее и прямее. В пределе с бесконечным увеличением она будет идеально прямой. В этом смысле действительно полезно думать об окружности как о бесконечном множестве прямых фрагментов и, следовательно, как о многоугольнике с бесконечным числом бесконечно малых сторон.

И Ньютон, и Лейбниц пользовались бесконечно малыми величинами, но в то время как Ньютон впоследствии отказался от них в пользу флюксий (которые представляют собой отношение бесконечно малых первого порядка и поэтому конечны и респектабельны, как, собственно, производные), у Лейбница был более прагматичный взгляд[237]. Он не беспокоился о том, существуют ли они на самом деле. Он считал их полезным и эффективным способом переформулировать рассуждения о пределах. Он также рассматривал их как удобные бухгалтерские средства, которые высвобождают воображение для более продуктивной работы. Как он объяснял одному коллеге: «С философской точки зрения я верю в бесконечно малые числа не больше, чем в бесконечно большие. Я рассматриваю те и другие как измышления разума, предназначенные для сжатого изложения, пригодного для анализа»[238].

А что сегодня по этому поводу думают математики? Существуют ли в реальности бесконечно малые величины? Это зависит от того, что вы подразумеваете под реальностью. Физики говорят нам, что бесконечно малые в реальном мире не существуют. В идеальном мире математики на обычной прямой действительных чисел бесконечно малым величинам места нет, однако они существуют в некоторых нестандартных числовых системах, обобщающих действительные числа[239]. Для Лейбница и его последователей они существовали как измышления разума, которые оказались удобными и пришлись кстати. Вот так мы и станем о них думать.

Куб чисел, близких к 2

Чтобы посмотреть, насколько поучительными могут быть бесконечно малые, давайте возьмем конкретный пример. Рассмотрим арифметическую задачу. Сколько будет 2 в кубе (то есть 2×2×2)? Естественно, 8. А как насчет 2,001×2,001×2,001? Понятно, что чуть больше 8, но насколько именно?

То, что мы сейчас ищем, – это способ мышления, а не численный ответ. Общий вопрос таков: если мы незначительно меняем в задаче входное число (в данном случае с 2 на 2,001), то как оно изменится на выходе? В данном случае с 8 на 8 плюс нечто, и структуру этого нечто мы и хотим понять.

Поскольку совладать с искушением подглядеть ответ нелегко, давайте посмотрим, что нам скажет калькулятор. Набираем 2,001, нажимаем кнопку x3 и получаем:

Структура числа после десятичной запятой такова:

Подумайте об этом так: малое плюс сверхмалое плюс сверхсверхмалое.